Résolution d'équation dans le plan complexe

[matan]

Bonjour, j'ai un exo de maths sur les complexes à faire
résoudre dans C l'équation : z²-2√3 z+4 =0

1. a résoudre l'équation dans C ,
   ça j 'ai fait , j'ai calculé delta (∧ =-4) et
   z1 = -√3 /2- i et z2 = -√3 /2 + i

1.b donner une forme exponentielle de chacune des 2 solutions
2. A et M ( unité 2 cm) les points d'affixe s respectives a = √3 +i et m= √3-1
a )placer A et M en indiquant une méthode de construction
b) on appelle B et C les points d'affixes respectives b=ia et c=ib
calculer b et c sous forme algébrique pouis placer B et C
c) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
d) déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un carré. Placer D sur la figure
3. N et P sont les points d'affixes respectives n= e ${}^{2i\pi /3}$ m et p = e ${}^{2i\pi /3}$ n
a) déterminer la forme algébrique de n puis démontrer que P et C sont confondus
b) démontrer que le triangle MNP est équilatéral

4. Calculer en cm² l'aire du carré ABCD puis l'aire du triangle MNP
   On donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à l'unité
   merci de toute l'aide que vous pourrez m'apporter

[Noemi]

Bonjour matan,

Vérifie l'écriture des solutions (-b !!)

quel est le module et l'argument de z1 et z2 ?

[matan]

Bonjour Noemi,

Merci pour cette réponse

Effectivement, j'ai fait une erreur de calcul z1= √3 /2- i et z2=√3 /2+ i

Je trouve que le module de z1 est √7 /2
Donc cos α = (√3 /2) / (√7/2) = √3 / √7 = √21 / 7
et sin α = -1 / (√7/2) = -2/√7 = -2√7 / 7
Cependant je n'arrive pas trouver l'argument

[Noemi]

Vérifie les calculs, le diviser par 2 ?

[matan]

oups ! encore une erreur

z1= √3-i et z2 = √3+i

le module de z1 est 2
donc cos α = √3/2 et sin α =-1/2 et donc α -=-π/6

z1= 2 e ${}^{-i\pi /6}$

z2= 2 e ${}^{i\pi /6}$

suis je sur la bonne voie maintenant ?

[Noemi]

Oui,

C'est juste.

[matan]

merci j'ai fait le placement des points sur le cercle trigonométrique
et je suis en train de calculer b et c sous forme algébrique
je trouve b = -1+i√3
et c = -√3-i
c'est juste ?

[Noemi]

C'est juste.

[matan]

Je cherche maintenant à démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle,
je pense calculer les distances et faire la réciproque de pythagore est correct ?

[matan]

mais je trouve que c'est compliqué avec les racines carrés, y a t il une autre solution ?

[Noemi]

C'est une méthode,
tu peux utiliser les modules et les arguments.

[matan]

ok j'essaye,

|a|= 2
|b|=2
|c| =2
donc les points sont à égale distance de O donc ils appartiennent à tous à un même cercle de centre O et de rayon 2

Maintenant il faut montrer que A O et C sont alignés et là je ne sais pas comment faire, je sais que c'est avec les arguments mais je n'y arrive pas ...

[Noemi]

Calcule l'angle entre les vecteurs OA et OC.

[matan]

ok Merci beaucoup et à demain matin
bonne nuit

[Noemi]

Bonne nuit à toi aussi.