Résolution d'équation dans le plan complexe



  • Bonjour, j'ai un exo de maths sur les complexes à faire
    résoudre dans C l'équation : z²-2√3 z+4 =0

    1. a résoudre l'équation dans C ,
      ça j 'ai fait , j'ai calculé delta (∧ =-4) et
      z1 = -√3 /2- i et z2 = -√3 /2 + i

    1.b donner une forme exponentielle de chacune des 2 solutions
    2. A et M ( unité 2 cm) les points d'affixe s respectives a = √3 +i et m= √3-1
    a )placer A et M en indiquant une méthode de construction
    b) on appelle B et C les points d'affixes respectives b=ia et c=ib
    calculer b et c sous forme algébrique pouis placer B et C
    c) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
    d) déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un carré. Placer D sur la figure
    3. N et P sont les points d'affixes respectives n= e 2iπ/3^{2iπ/3} m et p = e 2iπ/3^{2iπ/3} n
    a) déterminer la forme algébrique de n puis démontrer que P et C sont confondus
    b) démontrer que le triangle MNP est équilatéral

    1. Calculer en cm² l'aire du carré ABCD puis l'aire du triangle MNP
      On donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à l'unité
      merci de toute l'aide que vous pourrez m'apporter

  • Modérateurs

    Bonjour matan,

    Vérifie l'écriture des solutions (-b !!)

    quel est le module et l'argument de z1 et z2 ?



  • Bonjour Noemi,

    Merci pour cette réponse

    Effectivement, j'ai fait une erreur de calcul z1= √3 /2- i et z2=√3 /2+ i

    Je trouve que le module de z1 est √7 /2
    Donc cos α = (√3 /2) / (√7/2) = √3 / √7 = √21 / 7
    et sin α = -1 / (√7/2) = -2/√7 = -2√7 / 7
    Cependant je n'arrive pas trouver l'argument


  • Modérateurs

    Vérifie les calculs, le diviser par 2 ?



  • oups ! encore une erreur

    z1= √3-i et z2 = √3+i

    le module de z1 est 2
    donc cos α = √3/2 et sin α =-1/2 et donc α -=-π/6

    z1= 2 e iπ/6^{-iπ/6}

    z2= 2 e iπ/6^{iπ/6}

    suis je sur la bonne voie maintenant ?


  • Modérateurs

    Oui,

    C'est juste.



  • merci j'ai fait le placement des points sur le cercle trigonométrique
    et je suis en train de calculer b et c sous forme algébrique
    je trouve b = -1+i√3
    et c = -√3-i
    c'est juste ?


  • Modérateurs

    C'est juste.



  • Je cherche maintenant à démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle,
    je pense calculer les distances et faire la réciproque de pythagore est correct ?



  • mais je trouve que c'est compliqué avec les racines carrés, y a t il une autre solution ?


  • Modérateurs

    C'est une méthode,
    tu peux utiliser les modules et les arguments.



  • ok j'essaye,

    |a|= 2
    |b|=2
    |c| =2
    donc les points sont à égale distance de O donc ils appartiennent à tous à un même cercle de centre O et de rayon 2

    Maintenant il faut montrer que A O et C sont alignés et là je ne sais pas comment faire, je sais que c'est avec les arguments mais je n'y arrive pas ...


  • Modérateurs

    Calcule l'angle entre les vecteurs OA et OC.



  • ok Merci beaucoup et à demain matin
    bonne nuit 😄


  • Modérateurs

    Bonne nuit à toi aussi.


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