Fonction exponentielle, centre de symétrie, distance

Bonjour, je bloque sur un exercice et j'aurais besoin de votre aide :

On considère la fonction : g(x)=(e^x-e^-x)/2
et Cg la courbe representative de la fonction g

Demontrez que Cg admet un centre de symetrie

Ca j'ai montré que g(-x)=-f(x)
Est ce que c'est suffisant pour demontrer qu'il y a un centre de symetrie ?

Ensuite dans une seconde partie :
On considère le point A du plan de coordonnées (1;0) et on s'interesse au minimum de la distance AM, sachant que M est un point appartenant a la courbe C d'equation : g(x)= (e^x-e^-x)/2

M etant un point d'abscisse x de la courbe C , calculer en fonction de x, la distance AM
Peut on m'aider pour demarrer ?
Merci d'avance

Bonjour,

Je pense que tu as voulu écrire : g(-x)=-g(x) , pour tout x réel.

Donc g impaire donc O centre de symétrie.

Pour la suite :

$\text{am=\sqrt{(x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2}$

$x_M$ est x
$x_A$ vaut 1
$y_{M }$ est g(x)
$y_{A }$ vaut 0

Tu remplaces

Je trouve racine de (1-x)²+((e^x-e^-x)/2)²

C'est bien ça.

Mais comment savoir qu'il s'agit du minimum de la distance AM ?

Vu la question , tu étudies les variations de cette fonction "distance" pour en déduire le minimum.

Salut

Voici quelques explications supplémentaires sur une une fonction $g$ donnée dite IMPAIRE:

Si on a $g (- x) = - g (x)$ pour tout $x$ de $r\mathbb{r}$ (ou du domaine de définition $d_g$ ) alors :

on dit que la fonction g est IMPAIRE
et "le graphe" $c_g$ est symétrique par rapport au point O (symétrie centrale)

Alors :

1) on peut étudier la fonction $g$ uniquement pour tous les $x > 0$

2) Pour tous les point M de $c_g$ d'abscisse $xm≥0x_m \ge 0$ ( le point M a pour coordonnées ( $x_m$ ; $g(x_m$ ) )

alors le point M' de coordonnées ( $x_m$ ; $g(-x_m)$ ) appartient à $c_g$

et O est le milieu du segment [M , M']

En etudiant les variations, je trouve que
pour 1-x la fonction est croissante de - l'infini a 1 et decroissante de 1 a + l'infini
Une fonction exponentielle est toujours positive donc cela ne change pas
Dans la fonction est croissante de - l'infini a 1 et decroissante de 1 a + l'infini, et la je ne peux avoir qu'en extremum un maximum

c'est juste pour ma fonction ?

La formule de la fonction "distance" est juste ( je te l'ai déjà dit )

Pour étudier les variations d'une fonction , tu dois calculer la dérivée et le signe de la dérivée.

Peut-être as-tu des questions précédentes qui sont utilisables car c'est un peu surprenant qu'une fonction s'appelle g ; en principe , c'est f .

Eventuellement , donne le début de l'énoncé et les questions précédentes ( s'il y en a )

Voici l'exercice entier ;
On considère la fonction : g(x)=(e^x-e^-x)/2
et Cg la courbe representative de la fonction g

Demontrez que Cg admet un centre de symetrie

Etudier la limite de g en + l'infini et les variations de f sur l'intervalle 0 a + l'infini

Partie b :
On considère le point A du plan de coordonnées (1;0) et on s'interesse au minimum de la distance AM, sachant que M est un point appartenant a la courbe C d'equation : g(x)= (e^x-e^-x)/2

1)M etant un point d'abscisse x de la courbe C , calculer en fonction de x, la distance AM
Je trouve comme dérivée 2x-2+2(e^x+e^-x)
Est ce correct ?

Le 1) de la partie b) est fait en donnant l'expression de la distance.

Tu n'as rien à faire d'autre .

Non , la formule de la dérivée n'est pas bonne mais elle n'est pas simple cette dérivée ! Elle n'est pas demandé au 1)

Donne , avec rigueur , la suite de l'énoncé . 2) éventuellement 3) ...

Donc c'est le minimum, il y a rien a faire de plus ?
Dans le 2 on dit : f(x)=(x-1)²+(e^x-e^-x)²/4
2)calculer sa dérivée
3) Calculer la derivée de la dérivée
En deduire les variations de f' sur R

A la 1) , en fonction de x , tu as calculé la distance AM : c'est tout.

Il n'est pas question de minimum.

f(x)=AM²

L'énoncé te fait travailler sur AM² au lieu de AM , car cela facile les calculs et cela ne change rien à la logique de l'exercice .

Calcules donc f'(x)

Tu dois trouver :

$f′(x)=2(x−1)+12(ex−e−x)(ex+e−x)f'(x)=2(x-1)+\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})$

Tu peux développer , simplifier , pour améliorer un peu cette expression.

Comme il n'est pas possible directement d'étudier son signe , l'énoncé te demande ensuite de calculer f"(x) .

oui mais on cherche le minimum de AM

Lorsque tu auras le minimum de f(x) , tu auras le minimum de AM²

En prenant la racine carrée de ce minimum de AM² , tu obtiendras le minimum de AM.

Donc il faut que j'enleve la racine carré alors?
La reponse n'est pas fini, il faut etudier le signe de la dérivée ?

g(x)=AM ( il y a la racine carrée )

f(x)=AM² ( il n'y a pas la racine carrée )

Comme je te l'ai déjà indiqué , par souci de commodité , ton énoncé te fait travailler sur f(x) .

Lorsque tu auras obtenu la valeur , que je note a , du minimum de AM² ( c'est à dire f(x) ) , le minimum de AM ( c'est à dire g(x) ) sera √a .