logarithmes népériens

Bonjour j'ai un problème avec cet exercice.
Voici l'énoncé :

On donne une fonction définie sur ]0;e[U]e;+∞[ par f(x) = 2x + x÷(ln x-1).

a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
b) Calculer f'(x) et étudier son signe. ( On remarque que ln(e $s q r t$ e)= ... )
c) Dresser le tableau de variations de f.
d) Donner, selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x)=m.

Je bloque déjà à la première question car je ne sais pas comment calculer les limites aux bornes de e
Pour la limite en 0, j'ai trouvé 0.
Pourriez vous m'expliquer comment faire la suite de l'exercice svp

Merci d'avance.

Bonsoir,

Quelques pistes pour démarrer,

Oui pour la limite en 0

Pour +∞ , transforme un peu

$xlnx−1=xlnx1−1lnx\frac{x}{lnx-1}=\frac{\frac{x}{lnx}}{1-\frac{1}{lnx}}$

Tu dois trouver +∞ pour limite de f(x)

Pour x tendant vers e par valeurs inférieures :

lnx-1 tend vers $0^-$ donc x/(lnx-1) tend vers -∞

Tu dois trouver -∞ pour limite de f(x)

Pour x tendant vers e par valeurs inférieures :

lnx-1 tend vers $0^+$ donc x/(lnx-1) tend vers +∞

Tu dois trouver +∞ pour limite de f(x)

Vois cela en détail et essaie de poursuivre.

Bonjour mtschoon,

Merci pour ta réponse. J'ai tout repris et bien compris la technique, et je trouve comme toi.

Ensuite, j'ai calculé ma dérivée et je trouve (2lnx² - 3lnx - 3)/ ( lnx-1)².
Je ne sais pas si c'est ça

Recompte ta dérivée.

Sauf erreur , tu devrais trouver :

$f'(x)=\frac{2(lnx)^2-3lnx}{(lnx-1)^2$

En effet, je viens de recompter et je trouve comme toi.

Ensuite, pour étudier son signe ... Le décominateur est forcèment positive puisque c'est au carré, mais pour le numérateur ?

Pour le numérateur , tu mets lnx en facteur.

Tu auras le signe d'un produit à chercher.

Donc, ça donne lnx(2lnx²-3)
(2lnx²-3) est positive.
Et lnx ne doit pas être égal à 0.

Citation
lnx ne doit pas être égal à 0? ? pourquoi ? ?

Ta factorisation n'est pas bonne.

$2(lnx)^2-3lnx=lnx(2lnx-3)$

Oui,je suis bête --'. Les maths tout l'après-midi, ça ne réussit pas !
Parce que ln0 n'existe pas.

Effectivement ln0 n'existe pas .

lnx existe seulement pour x > 0 mais lnx prend toute valeur réelle entre -∞ et +∞

Donc, lnx > 0 ⇔ x>e $^0$ ⇔ x>1 ?
Pour 2lnx-3≥0 ⇔ 2lnx≥3 ⇔ lnx≥3/2 ⇔ x≥ $e^{3/2}$ ?

oui.

Merci
Par contre, je ne comprends pas la dernière question.

Si tu parles de la question d) , tu n'as aucun calcul à faire.

Tu utilises le tableau de variation ( ou le graphique ) que tu as fait.

Avec le graphique :

Tu traces la droite (Dm) d'équation y=m et tu détermines le nombre de points d'intersection de (Dm) avec la courbe , suivant la valeur de m .
( Les solutions de l'équation f(x)=m sont les abscisses de ces points )

Je commence :

pour m ≤ 0 : une solution
pour 0 < m < 1 : deux solutions
pour m=1 : une solution
....
....
Tu continues.

Merci beaucoup, j'ai compris la méthode.

C'est bien !