Variation de l'inverse d'une fonction croissante : démonstration

Bonsoir
J'ai une démonstration à faire, pouvez-vous m'aider svp ?

Démontrer à l'aide de la dérivation que l'inverse d'une fonction croissante (et qui ne s'annule pas) sur un intervalle I est une fonction décroissante et sur I.

f(x) est une fonction croissante sur I donc f'(x)≥0
(1/f)'=-f'/f²
f'≥0 et f²≥0
donc -f'/f²<0
donc (1/f)'<0
Donc 1/f est décroissante

C'est juste ?

Faut-il que je distingue le cas où f est négative et f est positive ?

Merci

Bonsoir linam,

C'est correct.

Bonjour, tu n'a sûrement pas besoin de ce commentaire vu que c'était il y à 7ans, mais pour ceux que ça intéressent, il y a une petite erreur : f ne s'annule pas donc f' est strictement supérieur à 0 et pas supérieur ou égale, de même pour f².

Bonjour Dokanii ,

Tu peux démontrer ton affirmation ?

Bonjour,

@Dokanii écrit "f ne s'annule pas donc f' est strictement supérieur à 0" $??\ ?\ ?$
Très bizarre...peut-être que @Dokanii a confondu $f(x)≠0f(x)\ne0$ avec $f′(x)≠0f'(x)\ne0$ ... $??\ ?\ ?$

Et lorsqu'on parle de fonction croissante on ne parle pas de "fonction strictement croissante "
(Idem pour fonction décroissante)

A y regarder de près, la démonstration de @linam n'est pas parfaite (mais la perfection n'existe pas...) car il y a des inégalités au sens strict qui auraient dû être écrites an sens large (et vice versa) .

f est une fonction croissante sur I donc $f′(x)≥0f'(x)\ge 0$

$(1f)′=−f′f2(\dfrac{1}{f})'=-\dfrac{f'}{f^2}$

$>0f'\ge 0\ et \ f^2\ \gt 0$

donc $\le 0$

donc $(1/f)′≤0(1/f)'\le 0$

Donc $1 / f$ est décroissante