Fonction, trigo et exponentielle.

Bonjour à tous, j'ai un DM en plusieurs parties et j'aurais besoin d'aide. Mes pistes seront écris en rouge.

Soit f la fonction définie sur ℜ par $f(x)=[2+cos(x)]e^{1-x}$

Montrer que pour tout x de ℜ, f(x)>0

-1≤cosx≤1 donc 2+cosx>0 ?

2.a) Montrer que pour tout x de ℜ: √2 cos(x-π÷4)=cos(x)+sin(x)

Il faut utiliser cos(a-b)=cos(a)×cos(b)+sin(a)×sin(b) ? Mais comment ?

b) En déduire que pour tout x de ℜ, 2+cos(x)+sin(x)>0

c) Montrer que f est strictement décroissante sur ℜ
J'étudie les variations .

Bonjour,

Tes idées sont bonnes.

Pour tout x réel :
$e^{1-x }$ > 0 ( car fonction exponentielle )
cosx ≥-1 donc , en ajoutant 2 : cosx + 2 ≥ -1+2 donc cosx + 2 ≥ 1 donc .....

$2[cos⁡(x−π4]=2[cos⁡xcos⁡π4+sinxsinπ4]\sqrt 2[\cos(x-\frac{\pi}{4}]=\sqrt2[\cos x \cos \frac{\pi}{4}+sinxsin\frac{\pi}{4}]$

Tu sais que :

$cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}$

Tu remplaces et tu termines le calcul.

Tu calcules f'(x) et tu dois trouver f'(x) < 0 pour tout x réel.

Tu peux nous donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification .

J'ai perdu mon message donc je le refais en version plus courte .

Pour le 2), je ne suis pas très sur de mon résulat . En remplaçant on obtient √2(cosx(√2÷2)+sinx(√2÷2))=cosx×1+sinx×1=cosx+sinx ?

Pour le b), on a déjà prouvé que 2+cosx≥1
De plus, sinx≥-1
Donc 2+cosx+sinx>1 .
C'est exact ?

Pour le reste c'est bon.

oui pour ta première question sur 2) car $cosx×1=cos⁡x\ cos x \times 1=\cos x$ et $sin⁡x×1=sin⁡x\sin x \times 1=\sin x$

( 1 est appelé "élément neutre" pour la multiplication )

Pour le b) fais attention en ajoutant membre à membre :

2+cosx≥1 et sinx≥-1 => 2+cosx+sinx ≥ 1+(-1) => 2+cosx+sinx ≥ 0

Merci, par contre je dois prouver que 2+cosx+sinx est strictement positif. C'est une erreur de l'énoncé ?

Non , il n'y a pas d'erreur d'énoncé.

Lorque tu as prouvé que 2+cosx+sinx ≥ 0, tu justifies , en plus , que 2+cosx+sinx ne peut pas valoir 0 , donc au final 2+cosx+sinx > 0

Pour cela , tu peux expliquer que 2+cosx+sinx =0 <=> cosx+sinx =-2 , ce qui est impossible car il faudrait que cosx et sinx valent -1 en même temps .

D'accord merci encore pour tout !

Bonjour, j'ai un dernier petit problème sur un exercice:

Soit f(x)=(2+cosx)e^1-x

Je dois montrer que f est strictement décroissante sur R .

f est dérivable comme ... je justifie comment ?
f'(x)=-sin(x) * e^1-x + (2+cosx) * (-1)e^1-x
f'(x)=-sinx * e^1-x - (2+cosx) * 1 * e^1-x

Et là je ne suis plus sur de ce que je fais:
e^1-x(-sinx - 2+cosx) ?

Merci de votre aide .

Revoir les signes .

Tu dois trouver

$\text{ f'(x)=(-sinx-cosx-2)e^{1-x}=-(sinx+cosx+2)e^{1-x} \$

Ensuite , il te suffit d'utiliser le 2)b) ( qui était là pour ça...) pour trouver le signe de f'(x) et le sens de variation de f

Donc je dis juste que j'ai déjà prouver que 2+cosx+sinx>0 donc -(2+cosx+sinx) est de signe négatif . Mais je fais quoi du $e^{1-x}$ ?

Réfléchis au signe de la fonction exponentielle

Il est positif . Donc un négatif fois un positif donne un négatif . C'est ca ?

oui , mais il faut préciser "strictement"

D'accord, merci pour tout.

De rien !

j'aii un pe de mal avec a demontrer que f(x) (c'est la même fonction que les autres) est décroissant. vous pouvez m'aidez svp.?

Relis ce qui a été fait : tu as tout ce qu'il faut

$f'(x)=-(sinx+cosx+2)e^{1-x}$

Tu as démontré que pour tout x : $\gt 0$

Tu sais que $e1−x>0e^{1-x} \gt 0$ ( voir fonction exponentielle )

Donc : $e^{1-x}) \gt 0$

Donc : $e^{1-x}) \lt 0$

Donc $\lt 0$

Donc f ................