Trouver la primitive d'une fonction en utilisant les intégrales



  • Bonjours, j'ai actuellement un exercice à faire mais je suis bloqué

    Voici l'éxercice:

    Soit n un entier naturel non nul. On nomme fn la fonction définie sur [0;+∞[ par:
    fn(x) ln(1+xnln(1+x^n) et on pose :

    In = ∫ fn(x)dx En bas de l'intégrale on a 0 et en haut on a 1, de 0 à 1 enfaite.

    1. Dans cette question on étudie le cas de n=1
      a. Démontrer que la fonction F1 définie sur [0;+∞[ par: F1(x) = x ln (1+x) - x + ln(1+x) est une primitive de la fonction f1 sur [0;+∞[
      b. En déduire la valeur exacte de I1I_1

    Mon problème est que je bloque sur ces deux questions
    Pour répondre à la question a. j'ai eu dans l'idée d'utilisé le théorème apprit en cours et qui dit, je cite: Si f est continu et positive sur I=[a;b] ; la fonction F défini sur I par F(x) = ∫ f(t)dt (en allant de a vers x) est dérivable sur I et F'=f. On dit que F est une primitive de f sur I

    Ma première idée était donc de montrer que ma fonction fn est continu et positive pour justifier qu'elle a une intégrale puis de faire la dérivé de F1F_1 en pensant bien évidement retomber sur f1f_1(x)

    Mais voilà je ne trouve pas f1f_1(x) en fesant la dérivé ...
    Je me suis peut être tromper mais j'ai plutôt l'impression de mal m'y prendre

    Voici ma dérivé:

    F1F_1(x) = x ln(1+x) - x + ln(1+x)
    F'1_1(x) = ln(1+x) + x*(1/1+x) - 1 + (1/1+x)

    Sachant que f1f_1(x) me semble être égale à ln(1+x) je n'est pas d'idée pour la suite 😕

    Et même si je décide de sauter la question a. je bloque à la question b. mais pour une toute autre raison.

    On me demande de déterminer la valeur éxacte de I1I_1
    Sa doit vraiment être dans ma tête parce que à chaque fois que je suis tomber sur des fonctions de ce type la en controle je me suis toujours planté
    le petit n en indice me perturbe completement !

    Pour moi j'y comprend vraiment rien
    Même si on fixe le petit n (dans le cas si présent on lui donne la valeur 1) il reste le x ! Donc je vois pas comment on peut trouver une valeur exacte quand on a une inconnu ...
    Et même si on fixe le x il reste le n qui est une inconnu, sa me semble pas normal qu'on puisse en trouver une valeur fixe !

    Alors plus que d'une aide sur cette question j'aurais réellement besoin de savoir ... comment "réfléchir" face à ce type de fonction ? Parce je perds énormément de temps dessus si sa tombe en contrôle et au final je n'arrive a rien :frowning2:



  • Bonjour,

    Tu n'as pas simplifié

    $\text{f'_1(x)=ln(1+x)+\frac{x}{1+x}-1+\frac{1}{1+x}$

    $\text{f'_1(x)=ln(1+x)+\frac{x+1}{1+x}-1=ln(1+x)+1-1=ln(1+x)$

    Donc $\text{f'_1(x)=f_1(x)$

    D'où la réponse.

    Pour I1I_1 tu dois trouver 2ln2 - 1



  • Han mais quel idiot --'

    Merci ;D

    et pour la b tu as fait comment ? Pour trouver 2ln2-1



  • Bonjour,

    En utilisant la définition d'une intégrale quand on connait une primitive !

    Si F est une primitive de f , alors

    abf(x),dx,=,,f(b),,f(a)\int_{a}^{b} {f(x)} ,\text{d}{x},=,,f(b) ,-, f(a)



  • Zorro t'a bien aidé !

    J'espère que tu vas faire :

    \bigint01f1(x)dx=[f1(x)]01=f1(1)f1(0)=.......\bigint_0^1 f_1(x) dx=[f_1(x)]_0^1 =f_1(1)-f_1(0)=.......



  • Oui tout à fait je trouve bien le résultat escompter.

    Merci de l'aide que vous m'avez apporté

    j'ai encore un petit soucis, voici une autre question:

    Montre que: 0 ≤ InI_n ≤ ln2

    D'abords je vérifie que ln(1+xnln(1+x^n) est bien croissante en dérivant:
    Je trouve nxnx^{n-1}/(1+xn/(1+x^n) > 0 donc ma fonction est croissante

    Puis j'écrit:
    0 ≤ x ≤1
    0 ≤ xnx^n ≤ 1
    1 ≤ 1+xn1+x^n ≤ 2
    ln 1 ≤ ln (1+xn(1+x^n) ≤ ln 2

    0 ≤ 01ln(1+xn)dx\int_{0}^{1}{ln(1+x^n)dx}01ln(2)dx\int_{0}^{1}{ln(2)dx}

    Or 01ln(2)dx\int_{0}^{1}{ln(2)dx} = [x ln(2)]ln(2)]_01^1 = ln2

    Je suis pas tout à fait sur de pouvoir l'écrire comme ca 🙂

    Et mon problème ce pose pour cette question:

    Pour tout x de [0;1] montrer que: fn+1f_{n+1}(x) ≤ fnf_n(x)

    J'ai d'abords posé la fonction: ln ( 1+xn11+x^{n1} ) - ln (1+xn(1+x_n) mais si je dérive ce truc là pour trouver le signe c'est plutôt moche

    (n+1)xn1+xn+1nx(n1)1+xn\frac{(n+1)x^n}{1+x^n+1} - \frac{nx^(n-1)}{1+x^n}

    Je vois mal une récurrence et je n'ai pas d'autres idées 😕

    Ps: j'ai du mal à écrire ma dérivé, par exemple le dénominateur de la première fraction est 1+ x^(n+1) et le numérateur de la 2e fraction est nx^(n-1)
    Enfin bon de toute façon c'est faux



  • Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction , mais pas le signe.

    Fais le calcul direct en utilisant les propriétés des logarithmes :

    fn+1(x)fn(x)=ln(1+xn+1)ln(1+xn)=ln1+xn+11+xnf_{n+1}(x)-f_n(x)=ln(1+x^{n+1})-ln(1+x^n)=ln\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n}

    Pour x[0,1]x\in [0,1] , tu prouves que 1+xn+11+xn1\frac{1+x^{n+1}}{1+x^n} \le 1

    Tu pourras en déduire le signe du logarithme et la réponse demandée.


 

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