logarithme népérien et suite

[rider71]

Bonjour,
Voila, j'ai un exercice qui me pose problème et voici son énoncé:
"On pose U0=1 et pour tout entier naturel n, ln(U(n+1))=1+ln(Un)

1°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, $un\ge 1$ et donc que la suite (Un) est bien définie.
2°) Démontrer que pour tout entier n, $\frac{un+1}{un}=e$ Et en déduire la nature de la suite
3°) Exprimer Un en fonction de n
4°) Quelle est la limite de la suite
5°) On note Vn=ln(Un)
a)Exprimer la somme V0+V1+...+Vn en fonction de n
b)En déduire l'expression de $u0\times u1\times ...\times un$ en fonction de n
c)Etudier la limite de $u0\times u1\times ...\times un$ "

La question 1, je l'ai réussi mais la question 2 me pose problème.
Merci d'avance pour votre génie

[mtschoon]

Bonjour,

Pour la question 2)

ln(U(n+1))=1+ln(Un) <=> ln(U(n+1))-ln(Un) =1

En utilisant les propriétés des logarithmes :

$\ln (\frac{u_{n+1}}{u_n})=1$

Donc :

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=e$

Tu peux déduire que :

$u_{n+1}=e\times u_n$ d'où la nature de la suite.