logarithme népérien et suite


  • R

    Bonjour,
    Voila, j'ai un exercice qui me pose problème et voici son énoncé:
    "On pose U0=1 et pour tout entier naturel n, ln(U(n+1))=1+ln(Un)

    1°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un≥1un\geq 1un1 et donc que la suite (Un) est bien définie.
    2°) Démontrer que pour tout entier n, un+1un=e\frac{un+1}{un}=eunun+1=e Et en déduire la nature de la suite
    3°) Exprimer Un en fonction de n
    4°) Quelle est la limite de la suite
    5°) On note Vn=ln(Un)
    a)Exprimer la somme V0+V1+...+Vn en fonction de n
    b)En déduire l'expression de u0×u1×...×unu0\times u1\times ...\times unu0×u1×...×un en fonction de n
    c)Etudier la limite de u0×u1×...×unu0\times u1\times ...\times unu0×u1×...×un "

    La question 1, je l'ai réussi mais la question 2 me pose problème.
    Merci d'avance pour votre génie 😁


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour la question 2)

    ln(U(n+1))=1+ln(Un) <=> ln(U(n+1))-ln(Un) =1

    En utilisant les propriétés des logarithmes :

    ln⁡(un+1un)=1\ln(\frac{u_{n+1}}{u_n})=1ln(unun+1)=1

    Donc :

    un+1un=e\frac{u_{n+1}}{u_n}=eunun+1=e

    Tu peux déduire que :

    un+1=e×unu_{n+1}=e \times u_nun+1=e×un d'où la nature de la suite.


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