Suite d'intégrales

[mathieu42]

Bonjour à tous.
On a pour tout n entier naturel:

$i_{n}=\bigint_{0}^{1}ln(1+t^{n})dt$.
On demande d'étudier la monotonie de (I)n.

Je sais le montrer en calculant $i_{n+1}-i_n$ en comparant,dans ce cas précis,les 2 quantités $\frac{1+x^{1+n}}{1+x^n}$ et 1.J'obtiens une suite décroissante.
Est-ce que la démarche suivante est correcte ?
$f_n(x)=ln(1+x^n)$.
On sait que $0\le x\le 1$ et $1\le 1+x^n\le 2$ et
$0\leq{ln(1+x^{n})}\leq{ln{2}{$ donc $f(x)\ge 0$.
(In) est croissante.J'aboutis à une contradiction.Il y'a faute ou erreur quelque part et je ne sais pas ou.
Là ,j'ai utilisé la propriété :si f est continue sur I et F est dérivable sur I alors F'=f.

Merci beaucoup pour votre aide.

[mtschoon]

Bonjour ,

Pour ce qui est de ta "remarque" , je ne vois pas de lien avec la comparaison entre $I_n$ et $I_{n+1}$ vu que tu ne parles que de $f_n$(x)...
Tu confonds les variations de la fonction avec les variations de la suite.

Pour ta "méthode" , tout dépend de ce que tu as fait.

Sur [0,1] , si tu as prouvé que $\frac{1+t^n}{1+t^{n+1}}\ge 1$ , tu peux tirer les conclusions utiles

$\ln (\frac{1+t^n}{1+t^{n+1}})\ge 0$

donc

$\ln (1+t^n)-\ln (1+t^{n+1}\ge 0$

donc

$\ln (1+t^n)\ge \ln (1+t^{n+1})$

donc

$\bigint_0^1\ln(1+t^n) dt \ge \bigint_0^1\ln(1+t^{n+1}) dt$

donc

$in\ge i_{n+1}$

d'où la réponse.

[mathieu42]

Bonjour Mtschoon.
Je suis désolé de ne pas vous avoir répondu plus tot.Veuillez m'excuser.
J'ai procédé comme vous l'avez indiqué sauf que j'ai calculé $i_{n+1}-i_n$
J'ai compris et je vous remercie vivement.

[mtschoon]

De rien !

Si tu as trouvé $i_{n+1}-i_n\le 0$ , c'est très bien .

[mathieu42]

Bonjour.
C'est bien ça.
Encore merci.