Amplitude d'un encadrement d'une intégrale


  • G

    Bonjour 😄
    Je suis bloquée à la deuxième question de l'exercice suivant. Si vous pouviez me débloquer ça serait super !

    L'énoncé est le suivant (du moins le début de l'énoncé)

    On se propose de déterminer un encadrement de J= ∫(0 à 3) 1/√(x²+1) dx dont l'amplitude n'excède pas 10−210^{-2}102

    1. Justifiez que la fonction à intégrer est positive et décroissante sur [0;+∞[
    2. Justifiez que l'amplitude A de l'encadrement est telle que A<21/10n

    J'ai réussi à répondre à la première question à l'aide de la dérivée.
    En revanche pour la question 2, j'ai commencé à encadrer la fonction, mais je ne sais pas si cela est très utile et je ne sais surtout pas d'où vient le n :rolling_eyes:

    L'encadrement est :
    3/√(10) ≤ ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx ≤ 3

    Merci d'avance 😉


  • H

    Bonsoir,

    Voila un exercice bizarre ! Le terme "n" est-il défini ailleurs dans l’énoncé ?

    Cordialement.


  • G

    Non,
    Nous apprenons juste quelques questions plus loin ( que je n'ai pas recopié ici) que nous devons trouver une valeur de n qui assure un encadrement de J d'amplitude inférieure à 10−210^{-2}102
    C'est la seule information dont je dispose :frowning2:


  • H

    J'ai un début de piste mais pas la solution complète ! Si on encadre effectivement l’intégrale de la fonction par 3/√10 et 3, alors l'amplitude A vaut: A = 3 - 3√10 ≈ 2,05 soit légèrement moins que 21/10. Mais je ne vois pas alors comment introduire ce fameux n ...


  • G

    Oui c'est effectivement ce que j'ai obtenu 😄
    En revanche, comme vous, je ne vois comment introduire n
    A part qu'en cherchant j'ai trouvé que A = (b-a)/n
    Est ce que cela paraît cohérent ?

    Merci en tout cas 😄


  • H

    Avec quelles valeurs pour a et b ? a = 3/√10 et b = 3 ?


  • G

    Oui 😄


  • H

    Dans ce cas, si j'ai bien compris, il faudrait par exemple l'encadrement suivant pour l’intégrale: 3/(n√10) ≤ ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx ≤ 3/n. Mais un tel encadrement n'est vrai que pour n = 1. En effet, pour n =2, sachant que ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx ≈ 1,818, on a 3/n = 3/2 = 1,5 et donc ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx > 3/n. Il faudrait donc trouver un encadrement plus complexe en fonction de n et dans l’immédiat je ne vois pas trop vers lequel on pourrait s'orienter !


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