Amplitude d'un encadrement d'une intégrale

[Gloupi]

Bonjour
Je suis bloquée à la deuxième question de l'exercice suivant. Si vous pouviez me débloquer ça serait super !

L'énoncé est le suivant (du moins le début de l'énoncé)

On se propose de déterminer un encadrement de J= ∫(0 à 3) 1/√(x²+1) dx dont l'amplitude n'excède pas $10^{-2}$

1. Justifiez que la fonction à intégrer est positive et décroissante sur [0;+∞[
2. Justifiez que l'amplitude A de l'encadrement est telle que A<21/10n

J'ai réussi à répondre à la première question à l'aide de la dérivée.
En revanche pour la question 2, j'ai commencé à encadrer la fonction, mais je ne sais pas si cela est très utile et je ne sais surtout pas d'où vient le n :rolling_eyes:

L'encadrement est :
3/√(10) ≤ ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx ≤ 3

Merci d'avance

[homeya]

Bonsoir,

Voila un exercice bizarre ! Le terme "n" est-il défini ailleurs dans l’énoncé ?

Cordialement.

[Gloupi]

Non,
Nous apprenons juste quelques questions plus loin ( que je n'ai pas recopié ici) que nous devons trouver une valeur de n qui assure un encadrement de J d'amplitude inférieure à $10^{-2}$
C'est la seule information dont je dispose :frowning2:

[homeya]

J'ai un début de piste mais pas la solution complète ! Si on encadre effectivement l’intégrale de la fonction par 3/√10 et 3, alors l'amplitude A vaut: A = 3 - 3√10 ≈ 2,05 soit légèrement moins que 21/10. Mais je ne vois pas alors comment introduire ce fameux n ...

[Gloupi]

Oui c'est effectivement ce que j'ai obtenu
En revanche, comme vous, je ne vois comment introduire n
A part qu'en cherchant j'ai trouvé que A = (b-a)/n
Est ce que cela paraît cohérent ?

Merci en tout cas

[homeya]

Avec quelles valeurs pour a et b ? a = 3/√10 et b = 3 ?

[Gloupi]

Oui

[homeya]

Dans ce cas, si j'ai bien compris, il faudrait par exemple l'encadrement suivant pour l’intégrale: 3/(n√10) ≤ ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx ≤ 3/n. Mais un tel encadrement n'est vrai que pour n = 1. En effet, pour n =2, sachant que ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx ≈ 1,818, on a 3/n = 3/2 = 1,5 et donc ∫ (0 à 3) 1/√(x²+1) dx > 3/n. Il faudrait donc trouver un encadrement plus complexe en fonction de n et dans l’immédiat je ne vois pas trop vers lequel on pourrait s'orienter !