Primitives Intégrales

Bonjour.
On a :

$f(x)=\bigint_{0}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}dt$.
On veut montrer que F est dérivable sur ]0;1[.

J'ai pris un l'intervalle [xo;x] inclus ou égal à [0;1] donc $f(x)\leq{f(t)}\leq{f(x_0)$ car f est décroissante.J'ai ensuite intégré entre xo et x.

$f(x)\bigint_{x_0}^{x}dt\leq{f(x) -f(x_0)}\leq{f(x_0)\bigint_{x_0}^{x}dt$ et en divisant par x-xo puis en calculant la limite quand x----->xo ,on trouve :

$f(x_0)\leq{\lim_{x\to{x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq{f(x_0)}$.

On peut conclure que F'(x)=f(x).Peut-on dire que si une primitive existe sur I ,elle est alors forcément dérivable sur I ?
Je vous remercie d'avance pour toute indication.
Il y'a d'autres questions auquelles j'ai répondu.Si vous le voulez bien,je vous les soumettrais.

Bonjour,

Il doit y avoir une faute de frappe dans ton énoncé car F(x) de dépend pas de x...

C'est peut-être : $f(x)=\bigint _0^x \frac{1}{1+t^2} dt$ ? ?

Pour répondre à ta question de dérivabilité , tu peux consulter ici , au paragraphe 5 :

http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/CI04.pdf

Bonjour Mtschoon.
Ma démonstration valait pour une fonction croissante sur I ,mais f est décroissante.J'ai bien compris le raisonnement proposé.
Merci pour tout.

de rien !