1ere S. Suites de moyennes pondérées.


  • M

    Bonjour,
    ci dessous un exercice sur lequel je bloque à partir de 4)...

    On considère les suitesunu_nun et vnv_nvn, définies respectivement par:

    u0=15u_0=15u0=15 , et, pour tout n∈nn\in nnn, un+1=7un+3vn10u_{n+1}=\frac{7u_{n}+3v_{n}}{10}un+1=107un+3vn

    v0=5v_0=5v0=5 , et, pour tout n∈nn\in nnn, un+1=3un+7vn10u_{n+1}=\frac{3u_{n}+7v_{n}}{10}un+1=103un+7vn

    On note(dn)et(sn)(d_{n}) et (s_{n})(dn)et(sn) les suites telles que, pour tout n ∈ n\mathbb {n}n

    , dn=un−vn,etsn=un+vnd_{n} = u_{n}-v_{n} , et s_{n} = u_{n} + v_{n}dn=unvn,etsn=un+vn

    1. Calculer u1u_{1}u1 et v1v_{1}v1 , puis u2u_2u2 et v2v_2v2.

    "u1u_1u1 = 12 , v1v_1v1 = 8 , u2u_2u2 =10,8 , v2v_2v2 =9,2"

    1. Montrer que (sn)(s_{n})(sn) est une suite constante et donner la valeur de cette constante.

    " un+1+vn+1=un+vn=(sn)u_{n+1} + v_{n+1} = u_n+v_n = (s_n)un+1+vn+1=un+vn=(sn)

    u1+v1=20u_1+v_1=20u1+v1=20

    (sn)(s_n)(sn) est donc une suite constante de valeur 20"

    1. montrer que (dn)(d_n)(dn) est une suite géométrique et exprimer dnd_ndn en fonction de nnn, ou n∈nn \in nnn.

    "un+1−vn+1=25(un−vn)=25dnu_{n+1}-v_{n+1}=\frac{2}{5}(u_n-v_n)=\frac{2}{5}d_nun+1vn+1=52(unvn)=52dn
    (dn)(d_n)(dn) est donc une suite géométrique de raison 25\frac{2}{5}52
    dn=do<em>qn=10</em>(25)nd_n=d_o<em>q^n=10</em>(\frac{2}{5})^ndn=do<em>qn=10</em>(52)n"

    1. En déduire les expression de unu_nun et vnv_nvn en fonction de nnn , ou n∈nn \in nnn.

    2. Montrer que (un)(u_n)(un) et (vn)(v_n)(vn) sont convergentes , et préciser leur limite . commenter ces résultats.

    merci de m'indiquer une piste pour le 4 )

    @+


  • M

    Bon,
    au 4) je trouve un=sn+dn2=5(25)n+10u_n=\frac{s_n+d_n}{2}=5(\frac{2}{5})^n+10un=2sn+dn=5(52)n+10

    et vn=sn−dn2=10−5(25)nv_n=\frac{s_n-d_n}{2}=10-5(\frac{2}{5})^nvn=2sndn=105(52)n.

    Je m'attaque au 5)


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir majortom,

    L'ensemble est juste.
    Une erreur de frappe pour dn, c'est d0 et non i0.


  • M

    Faute de frappe réparée.
    Merci Noemi!


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