1ere S. Suites de moyennes pondérées.

Bonjour,
ci dessous un exercice sur lequel je bloque à partir de 4)...

On considère les suites $u_n$ et $v_n$ , définies respectivement par:

$u_0=15$ , et, pour tout $n∈nn\in n$ , $un+1=7un+3vn10u_{n+1}=\frac{7u_{n}+3v_{n}}{10}$

$v_0=5$ , et, pour tout $n∈nn\in n$ , $un+1=3un+7vn10u_{n+1}=\frac{3u_{n}+7v_{n}}{10}$

On note $d_{n}) et (s_{n})$ les suites telles que, pour tout n ∈ $n\mathbb {n}$

, $d_{n} = u_{n}-v_{n} , et s_{n} = u_{n} + v_{n}$

Calculer $u_{1}$ et $v_{1}$ , puis $u_2$ et $v_2$ .

" $u_1$ = 12 , $v_1$ = 8 , $u_2$ =10,8 , $v_2$ =9,2"

Montrer que $s_{n})$ est une suite constante et donner la valeur de cette constante.

" $u_{n+1} + v_{n+1} = u_n+v_n = (s_n)$

$u_1+v_1=20$

$s_n)$ est donc une suite constante de valeur 20"

montrer que $d_n)$ est une suite géométrique et exprimer $d_n$ en fonction de $n$ , ou $\in n$ .

" $un+1−vn+1=25(un−vn)=25dnu_{n+1}-v_{n+1}=\frac{2}{5}(u_n-v_n)=\frac{2}{5}d_n$
$d_n)$ est donc une suite géométrique de raison $25\frac{2}{5}$
$dn=do<em>qn=10</em>(25)nd_n=d_o<em>q^n=10</em>(\frac{2}{5})^n$ "

En déduire les expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ , ou $\in n$ .
Montrer que $u_n)$ et $v_n)$ sont convergentes , et préciser leur limite . commenter ces résultats.

merci de m'indiquer une piste pour le 4 )

@+

Bon,
au 4) je trouve $un=sn+dn2=5(25)n+10u_n=\frac{s_n+d_n}{2}=5(\frac{2}{5})^n+10$

et $vn=sn−dn2=10−5(25)nv_n=\frac{s_n-d_n}{2}=10-5(\frac{2}{5})^n$ .

Je m'attaque au 5)

Bonsoir majortom,

L'ensemble est juste.
Une erreur de frappe pour dn, c'est d0 et non i0.

Faute de frappe réparée.
Merci Noemi!