angles orientés trigonométrie

Bonjour à tous. Je sollicite votre aide pour m'aider à résoudre l'exercice suivant

ABCDE est un pentagone régulier direct inscrit dans un cercle de centre O : les points A, B, C, D et E sont situés sur le cercle dans cet ordre (A est situé à 0° sur l'axe des cos et le reste suit ) et dans le sens positif.

1)a) Déterminer les mesures en radians des angles ABO et BOD
b) En déduire les mesures principales en radians des angles (BO,BA), (DO,OB) et (DO,AB)
2) Démontrer qu'une mesure en radians de (DO,EC)est /2
3)a) Déduire des questions précédentes que les vecteurs OA+OB et OC+OE sont colinéaires à OD
b) En déduire que 0A+OB+OD+OC+OE est colinéaire à OD
4) Démontrer que les vecteurs OB+OC, OD+OA, OA+OB+OD+OC+OE sont colinéaires à OE
5) Déduire des questions précédentes OA+OB+OD+OC+OE= 0

Bonjour,

Piste pour démarrer,

$aob^=2π5\widehat{aob}=\frac{2\pi}{5}$

La triangle OAB est isocèle ( OA=OB ) donc les angles à la base sont égaux

La somme des angles d'un triangle valant ∏ , tu peux déduire que :

$2abo^+aob^=π2\widehat{abo}+\widehat{aob}=\pi$

$2abo^+2π5=π2\widehat{abo}+\frac{2\pi}{5}=\pi$

Tu déduis la valeur de l'angle cherché

2ABO= $p i$ -2 $p i$ /5
2ABO=3 $p i$ /5

ABO=3 $p i$ /10

C'est bon pour $abo^\widehat{abo}$

Tu continues :

$bod^=boc^+cod^=....\widehat{bod}=\widehat{boc}+\widehat{cod}=....$

BOD = BOC + COD = 2 $p i$ /5 + 2 $p i$ /5 = 4 $p i$ /5 rad

C'est bon , tu continues.

Utilises les calculs précédents et le fait que le pentagone est direct

$(bo⃗,ba⃗)=3π10+2kπ(\vec{bo},\vec{ba})=\frac{3\pi}{10}+2k\pi$ avec k entier

$(do⃗,ob⃗)=(do⃗,od⃗)+(od⃗,ob⃗)=π−4π5+2kπ(\vec{do},\vec{ob})=(\vec{do},\vec{od})+(\vec{od},\vec{ob})=\pi-\frac{4\pi}{5}+2k\pi$ avec k entier

Tu déduis les mesures principales demandées.

(DO , OB) = $p i$ /5 +2k $p i$
(DO , AB) = 4 $p i$ /5 + 3 $p i$ /10 = 11 $p i$ /10

(DO,EC)=(DO,EO)+(EO,EC))=(-OD,-OE)+(EO,EC)=(OD,OE)+(EO,EC)=2pi/5+pi/1O=pi/2

Je te conseille de revoir $(do⃗,ab⃗)(\vec{do},\vec{ab})$

$(do⃗,ab⃗)=(do⃗,0b⃗)+(ob⃗,ab⃗)(\vec{do},\vec{ab})=(\vec{do},\vec{0b})+(\vec{ob},\vec{ab})$

donc :

$(do⃗,ab⃗)=(do⃗,0b⃗)+(bo⃗,ba⃗)=...(\vec{do},\vec{ab})=(\vec{do},\vec{0b})+(\vec{bo},\vec{ba})=...$

(DO,AB)= $p i$ /5+3 $p i$ /10+2k $p i$ = $p i$ /2+2k $p i$

Oui pour ta dernière réponse ; et c'est cohérent car si tu observes la construction , les droites (AB) et (CE) sont parallèles.

3)a) OA+OB=2OD
OC+OE=OD
b) 2OD+OD+OD

non...

En appelant I le milieu de [AB] :

$\text{\vec{oa}+\vec{ob}=\vec{oi}+\vec{ia}+\vec{oi}+\vec{ib}=2\vec{oi}+\vec{ia}+\vec{ib}=2\vec{oi}+\vec{0}=2\vec{oi}$

Ensuite , tu raisonnes pour trouver la conclusion souhaitée.