[Problème] Suites & arithmétique



  • Bonjour,

    Voici un problème sur le thème des suites associé à l’arithmétique.
    Je pense avoir compris/écris l'essentiel, même si certaines démonstrations sont a peaufiner.
    J'ai agrémenté la lecture un peu longue avec LaTex, Merci 😉

    1. Déterminer le PGCD de 4214^2 - 1 et de 4614^6 - 1

    2. Soit (un)(u_n) la suite définie par :
      nnun+2=5un+14un\quad\forall n\in\mathbb{n}\quad u_{n+2}=5u_{n+1}-4u_n avec u0=0u_0=0, u1=1u_1=1

    • a. Calculer u2u_2, u3u_3 et u4u_4,
    • b. Démontrer que, nn\forall n\in\mathbb{n} : un+1=4un+1u_{n+1}=4u_n+1,
    • c. Démontrer que, nn\forall n\in\mathbb{n}, unu_n est un entier naturel,
    • d. En déduire, nn\forall n\in\mathbb{n}, le PGCD deunu_n et de un+1u_{n+1}.
    1. Soit (vn)(v_n) la suite définie par : nn,vn=un+13\forall n\in\mathbb{n},\quad v_n = u_n+\dfrac{1}{3}
    • a. Démontrer que (vn)(v_n) est une suite géométrique,
    • b. nn\forall n\in\mathbb{n}, exprimer vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn,
    • c. Déterminer, nn\forall n\in\mathbb{n}, le PGCD de 4n14^n- 1 et de 4n+114^{n+1}-1.

    1. Rappels utiles : a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) et abpgcd(a,b)=aa|b\quad\longleftrightarrow\quad pgcd(a,b)=a.
      Compte tenu des rappels, on peux répondre à la question : 461=(42)31=(421)[(42)2+1×42+1]pgcd(421, 461)=4214^6-1=(4^2)^3-1=(4^2-1)[(4^2)^2+1\times 4^2+1]\quad\longleftrightarrow\quad pgcd(4^2 - 1,\ 4^6 - 1)=4^2 - 1.

    2. a. Les premiers termes de (un)(u_n) sont :
      u0=0, u1=1, u2=5, u3=21, u4=85u_0=0,\ u_1=1,\ u_2=5,\ u_3=21,\ u_4=85.
      \quadb. Démonstration par récurrence :
      Initialisation Ok, car u1=4×u0+1=4×0+1=1u_1=4\times u_0+1=4\times 0+1=1,
      Récurrence : on suppose un+1=4un+1un+11=4unu_{n+1}=4u_n+1\quad\longleftrightarrow\quad u_{n+1}-1=4u_{n} vrai.
      Donc par substitution : un+2=5un+1(un+11)=4un+1+1u_{n+2}=5u_{n+1}-(u_{n+1}-1)=4u_{n+1}+1
      Conclusion : la preuve est faite, car un+2=4un+1+1u_{n+2}=4u_{n+1}+1 est le rang n+1n+1 de un+1=4un+1u_{n+1}=4u_n+1.
      \quadc. On sait que u0=0u_0=0 est un entier naturel et je suppose que un=4un1+1u_n=4u_{n-1}+1 aussi, alors 4×un4\times u_n est un entier, de même que un+1=4un+1u_{n+1}=4u_{n}+1 CQFD ?
      \quadd. Maintenant que l'on sait qu'il existe des entiers un+1u_{n+1} et unu_n, grâce au théorème de BEZOUT, on peut affirmer que le pgcd(un+1,un)=1pgcd(u_{n+1},u_n)=1, puisque un+14un=1u_{n+1}-4u_{n}=1 et les coefficients 11 et 4-4 sont premiers entre eux. CQFD ?

    3. aConcernant la relation entre les suites (un) et (vn)(u_n)\text{ et }(v_n) nous avons :
      (vn=un+13etvn+1=un+1+13)(un=vn13etun+1=vn+113)\left(v_n=u_n+\dfrac{1}{3}\quad\text{et}\quad v_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac{1}{3}\right)\quad\longleftrightarrow\quad\left(u_n=v_n-\dfrac{1}{3}\quad\text{et}\quad u_{n+1}=v_{n+1}-\dfrac{1}{3}\right)
      Comme un+1=4un+1u_{n+1}=4u_n+1 il s'en suit que :
      vn+113=4×(vn13)+1vn+1=4vn43+1+13=4vnv_{n+1}-\dfrac{1}{3}=4\times(v_n-\dfrac{1}{3})+1\quad\longleftrightarrow\quad v_{n+1}=4v_n-\dfrac{4}{3}+1+\dfrac{1}{3}=4v_n.
      C'est bien une suite géométrique et sa raison q=4q=4.
      \quadb. On en déduit que : vn+1=4×vnv_{n+1}=4\times v_n et v0=u0+13=13v_0=u_0+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.
      Maintenant, il est possible d'exprimer vnv_n en fonction de nn : vn=v0×4n=13×4nv_n=v_0\times 4^n=\dfrac{1}{3}\times 4^n.
      Compte tenu de la relation : un=vn13u_n=v_n-\dfrac{1}{3}, on exprime ainsi unu_n en fonction de nn :
      un=13×4n13=13×(4n1)u_n=\dfrac{1}{3}\times 4^n-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\times\left(4^n-1\right).
      \quadc. Un petit rappel : pgcd(ka,kb)=k×pgcd(a,b)pgcd(ka,kb)=k\times pgcd(a,b),
      un=13×(4n1)3un=4n1u_n=\dfrac{1}{3}\times\left(4^n-1\right)\leftrightarrow 3u_n=4^n-1
      un+1=13×(4n+11)3un+1=4n+11u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times\left(4^{n+1}-1\right)\leftrightarrow 3u_{n+1}=4^{n+1}-1
      Donc on a : pgcd(4n1, 4n+11)=pgcd(3un,\3un+1)pgcd(4^n-1,\ 4^{n+1}-1)=pgcd(3u_n,\3u_{n+1})
      pgcd(4n1, 4n+11)=3×pgcd(un,un+1)=3×1=3pgcd(4^n-1,\ 4^{n+1}-1)=3\times pgcd(u_n,u_{n+1})=3\times 1=3.

    J'espère avoir utilisé les équivalences à bon escient ?
    Encore Merci,

    @+ 😄



  • SVP, juste pour vérifier 2c et 2d, MERCI bcp !


  • Modérateurs

    Bonjour FairMaths

    Pour le théorème de Bezout, est -il nécessaire que les coefficients soient premiers entre eux ?



  • Je cite le théorème :
    Soient aa, et bb, deux entiers relatifs non nuls ; aa, et bb, sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs uu et vv tels que au+bv=1au+bv = 1.
    Noemi
    Pour le théorème de Bezout, est -il nécessaire que les coefficients soient premiers entre eux ?Deux coefficients seulement : 11 et 4-4, puisque cette relation un+14un=1u_{n+1}-4u_{n}=1 garantie l'existence des entiers un+1u_{n+1} et unu_{n} ?
    Cf 2c. Ma sauce à la récurrence est correcte ?

    Merci 😄


  • Modérateurs

    1 et -4 sont les deux entiers relatifs.

    le 2 c est correct.



  • Merci 😄


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