Etudier une fonction puis donner sa représentation graphique

[arone]

On considére la fonction f définie par : f(x)= $\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$

On nomme (C) sa courbe représentative dans le repère orthormé ( O ,i ,j)

Partie A : Etude d'une fontion auxilaire

g est la fonction définie sur R par g(x)=x^3-3x-4

1. Etudier les limites de la fonction g, en -oo et en +oo
2. Dresser le tableau de variations de la fonction g
3. Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution réelle
4. En donner une approximation, à l'aide de la calculatrice, à 10^-3 près
5. En déduire le signe de la fonction g

Partie B : Etude de la fonction f

1. Déterminer les limites de la fonction f aux borne de son ensemble de définition D, à déterminer
2. Montrer que , pour tout x $\in$ D , f'(x)= [xg(x)]/(x²-1)²
   En déduire le tableau de variations de la fonction f
3. Montrer que la droite $\delta$ d'équation y=x+2 est asymptote à (C), puis étudier la position relative de ces deux courbes
4. Représenter (C) et $\delta$

Bonjour,

Partie A

1. lim + inf de $x^3$ = + inf
   lim +inf de -3x-4=- inf
   donc on est en présence d'une forme indéterminée + inf - inf

g(x)= x($x^2-3-\frac{4}{x}$)
Puis calcul du déterminant pour ($x^2-3-\frac{4}{x}$)

Suis je sur la bonne voie?

Merci pour votre aide

[Noemi]

Bonjour arone,

1. Pour les limites d'une fonction polynôme tu prends le terme de plus haut degré.
2. Calcule la dérivée, puis son signe.

[arone]

Voici la suite:

2. tableau de variation:
   g'(x) = 3x²-3
   x1=-1 et x2=1

x........-inf........-1...........1..............+inf
g'(x)............+...0....-......0.......+.........
g(x).................-2..........-6..................
................croi.......dec..........croi.........

0$\in$ [-6,+inf[ donc g(x)=0 a une solution unique dans [1;+inf[

4. 2,19<2,196<2,20

5. g est croissante
   Est ce suffisant de dire cela?

Partie B
1)
DF= R -{-1;1}

Lim x tend -1 de f(x)=
lim x tend -1 de [tex]x^{3}+2x^{2}[/tex]= 1
lim x tend -1 de [tex]x^{2}-1[/tex]=0

donc lin x tend -1 f(x)=-inf
et lim x tend 1 f(x)= + inf

2. f'(x)= [tex]\frac{x(x^{3}-3x-4)}{(x^{2}-1)^{2}}[/tex]

tableau de variation

x.....-inf...........-1...........0............1...........+inf
x...............-............-.....0.....+...........+.........
g(x)..........+.....0.....-............-......0....+.........
f(x)...........-............+...........-............+.........
..............decr........croi........decr.........croi......

3. calculer f(x)-y
   lim x tend +inf [tex]\frac{x+2}{x^{2}-1}[/tex]=
   lim x tend +inf [tex]\frac{1}{x}[/tex]=0
   donc la droite d'equation y= x+2 est une asymptote oblique a la courbe C;

Je ne sais plus comment étudier la position relative de 2 courbes!!!

Merci pour votre aide

[Noemi]

Question 5, il est demandé le signe de g

g < 0 si x .....
g> 0 si x ....

Partie B
Pour les limites en -1 et 1, calculer la limite à droite et à gauche

Pour le tableau de variation, il faut utiliser le signe de g

[arone]

Bonsoir

Donc, pour la partie A

1. On sait que la limite d'un polynome du second degre en + ou - l'infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré donc
   lim quand x tend vers + inf de g(x) =
   lim quand x tend vers +lim de $x^3$= + l'inf
   lim quand x tend vers - inf de g(x) =
   lim quand x tend vers -lim de $x^3$= - l'inf

2. g < 0 si x est inférieur à 2,196
   g> 0 si x est supérieur à 2,196

Partie B
"Pour les limites en -1 et 1, calculer la limite à droite et à gauche", vous voulez dire calculer la limite en -1+ et en -1- et en 1+ et 1-???

"Pour le tableau de variation, il faut utiliser le signe de g", mon tableau est donc faux? J'ai pourtant utilisé le signe de x et le signe de g pour en déduire le signe de f....

Merci pour vos explications

[Noemi]

Pour le tableau de variations, utilise le résultat de la question 5.