Arithmétique dans Z



  • Bonjour,

    Un petit exercice qui me donne du mal.

    Dans z\mathbb{z}, démontrer que : 510,,x17x510,|,x^{17}-x


    Même si je remarque que :

    510=2×3×5×17,510=2\times 3\times 5\times 17,
    510=5122=292=2×(281),510=512-2=2^9-2=2\times(2^8-1),
    x17x=x×(x161)=x(x41)(x4+1)=x(x21)(x2+1)(x4+1).x^{17}-x=x\times(x^{16}-1)=x(x^4-1)(x^4+1)=x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1).

    Impossible d'aller plus loin...
    Merci et @+ 😄


  • Modérateurs

    Bonjour FairMaths

    Le début est juste.

    Que te reste t-il à démontrer ?



  • Merci pour ta réponse rapide !
    La question c'est bien de démontrer que :
    $\forall x\in\mathbb{z}\ 😕 \ 510,|,x^{17}-x$
    En fait, je cherche une expression comme : 510×(....)510\times(....) avec 510 en facteur.
    Mais, je suis coincé pour poursuivre...
    Une piste SVP ?
    @+ 😄


  • Modérateurs

    Il te reste à considérer le cas ou x est pair ou x est impair
    tu remplaces x par 2n puis
    x par 2n+1
    tu fais ensuite apparaitre le facteur 510.



  • Bonjour,

    Je déplace en Ter S, en France l'arithmétique n 'est pas au programme de Ter ES..
    Pourrais tu poster tes sujets dans le bon forum afin de nous permettre d'adapter notre réponse à ton niveau...



  • Noemi, je n'ose pas effectuer un développement aussi long sans avoir une piste pour raccourcir les calculs, si c'est la seule voie possible ?

    Merci et @+


  • Modérateurs

    Attention la factorisation est fausse
    x4x^4×x4x^4 = x8x^8



  • Merci pour ta réponse, en effet :

    x(x161)=x(x1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)x(x^{16}-1)=x (x-1) (x+1) (x^2+1) (x^4+1) (x^8+1)

    Mais pour de la suite...
    Merci et @+


  • Modérateurs

    Bonsoir tout le monde !

    Peut-être une suggestion pour la suite , mais il faut affiner tout cela ( ce n'est qu'une piste ) :

    Idée : Prouver que 2 , 3 , 5 , 17 divisent x17x^{17}-x

    Pour cela :

    (x-1) , x et (x+1) étant trois entiers consécutifs :

    $\text{2|x(x-1)(x+1) et 3|x(x-1)(x+1) donc ...$

    Avec le petit théorème de Fermat :

    $\text{5 |(x^4-1) donc...$

    $\text{17|(x^{16}-1) donc ...$



  • Ok, merci 😄


  • Modérateurs

    De rien .

    J'espère que tu as mis tout cela en forme !



  • mtschoon
    De rien.
    J'espère que tu as mis tout cela en forme !
    Le petit théorème de Fermat nous dit que : nk110[k]n^{k-1}-1\equiv 0 [k]
    Ce qui signifie ceci : k,,nk11k,|,n^{k-1}-1
    Citation
    Avec le petit théorème de Fermat :

    $\text{5 |(x^4-1) donc...$
    5(x41)5 |(x^4-1) donc  5(x171)\ 5 |(x^{17}-1)
    Citation
    $\text{17|(x^{16}-1) donc ...$
    17(x161)17|(x^{16}-1) donc  17(x171)\ 17|(x^{17}-1)
    Finalement 2, 3, 5, 17 divise x17xx^{17}-x donc 510 aussi !?

    @+ 😄


  • Modérateurs

    Tu as dû faire des fautes de frappe car il s'agit de <strong>x17<strong>x^{17}-xet non de x17x^{17}-1

    N'oublie pas de préciser , pour le petit théorème de Fermat , que k doit être premier .

    S'il s'agit d'une devoir à rendre , je suppose que tu as explicité les factorisations judicieusement à chaque fois.

    (x17x)=(x41)(x)(x4+1)(x8+1)(x^{17}-x)=(x^4-1)(x)(x^4+1)(x^8+1)

    5(x41)5|(x^4-1) donc ...

    x17x=(x161)(x)x^{17}-x=(x^{16}-1)(x)

    17(x161)17|(x^{16}-1) donc ...



  • mtschoon
    Tu as dû faire des fautes de frappe car il s'agit de <strong>x17<strong>x^{17}-xet non de x17x^{17}-1

    N'oublie pas de préciser , pour le petit théorème de Fermat , que k doit être premier .
    Oui, k premier est très important !

    Citation
    S'il s'agit d'un devoir à rendre , je suppose que tu as explicité les factorisations judicieusement à chaque fois.

    (x17x)=(x41)(x)(x4+1)(x8+1)(x^{17}-x)=(x^4-1)(x)(x^4+1)(x^8+1)

    5(x41)5|(x^4-1) donc ...

    x17x=(x161)(x)x^{17}-x=(x^{16}-1)(x)

    17(x161)17|(x^{16}-1) donc...
    Merci beaucoup pour l'aide, j'ai du mal avec la logique de l’arithmétique (surtout) !


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