Arithmétique dans Z

Bonjour,

Un petit exercice qui me donne du mal.

Dans $z\mathbb{z}$ , démontrer que : $510,|,x^{17}-x$

Même si je remarque que :

$510=2×3×5×17,510=2\times 3\times 5\times 17,$
$510=512−2=29−2=2×(28−1),510=512-2=2^9-2=2\times(2^8-1),$
$x17−x=x×(x16−1)=x(x4−1)(x4+1)=x(x2−1)(x2+1)(x4+1).x^{17}-x=x\times(x^{16}-1)=x(x^4-1)(x^4+1)=x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1).$

Impossible d'aller plus loin...
Merci et @+

Bonjour FairMaths

Le début est juste.

Que te reste t-il à démontrer ?

Merci pour ta réponse rapide !
La question c'est bien de démontrer que :
$\forall x\in\mathbb{z}\ $:\$ \ 510,|,x^{17}-x$
En fait, je cherche une expression comme : $510×(....)510\times(....)$ avec 510 en facteur.
Mais, je suis coincé pour poursuivre...
Une piste SVP ?
@+

Il te reste à considérer le cas ou x est pair ou x est impair
tu remplaces x par 2n puis
x par 2n+1
tu fais ensuite apparaitre le facteur 510.

Bonjour,

Je déplace en Ter S, en France l'arithmétique n 'est pas au programme de Ter ES..
Pourrais tu poster tes sujets dans le bon forum afin de nous permettre d'adapter notre réponse à ton niveau...

Noemi, je n'ose pas effectuer un développement aussi long sans avoir une piste pour raccourcir les calculs, si c'est la seule voie possible ?

Merci et @+

Attention la factorisation est fausse
$x^4$ × $x^4$ = $x^8$

Merci pour ta réponse, en effet :

$x(x^{16}-1)=x (x-1) (x+1) (x^2+1) (x^4+1) (x^8+1)$

Mais pour de la suite...
Merci et @+

Bonsoir tout le monde !

Peut-être une suggestion pour la suite , mais il faut affiner tout cela ( ce n'est qu'une piste ) :

Idée : Prouver que 2 , 3 , 5 , 17 divisent $x^{17}$ -x

Pour cela :

(x-1) , x et (x+1) étant trois entiers consécutifs :

$\text{2|x(x-1)(x+1) et 3|x(x-1)(x+1) donc ...$

Avec le petit théorème de Fermat :

$\text{5 |(x^4-1) donc...$

$\text{17|(x^{16}-1) donc ...$

Ok, merci

De rien .

J'espère que tu as mis tout cela en forme !

mtschoon
De rien.
J'espère que tu as mis tout cela en forme !
Le petit théorème de Fermat nous dit que : $nk−1−1≡0[k]n^{k-1}-1\equiv 0 [k]$
Ce qui signifie ceci : $k,|,n^{k-1}-1$
Citation
Avec le petit théorème de Fermat :

$\text{5 |(x^4-1) donc...$
$5 |(x^4-1)$ donc $5 |(x^{17}-1)$
Citation
$\text{17|(x^{16}-1) donc ...$
$17|(x^{16}-1)$ donc $17|(x^{17}-1)$
Finalement 2, 3, 5, 17 divise $x^{17}-x$ donc 510 aussi !?

@+

Tu as dû faire des fautes de frappe car il s'agit de $strong>x^{17}$ -xet non de $x^{17}$ -1

N'oublie pas de préciser , pour le petit théorème de Fermat , que k doit être premier .

S'il s'agit d'une devoir à rendre , je suppose que tu as explicité les factorisations judicieusement à chaque fois.

$x^{17}-x)=(x^4-1)(x)(x^4+1)(x^8+1)$

$5|(x^4-1)$ donc ...

$x^{17}-x=(x^{16}-1)(x)$

$17|(x^{16}-1)$ donc ...

mtschoon
Tu as dû faire des fautes de frappe car il s'agit de $strong>x^{17}$ -xet non de $x^{17}$ -1

N'oublie pas de préciser , pour le petit théorème de Fermat , que k doit être premier .
Oui, k premier est très important !

Citation
S'il s'agit d'un devoir à rendre , je suppose que tu as explicité les factorisations judicieusement à chaque fois.

$x^{17}-x)=(x^4-1)(x)(x^4+1)(x^8+1)$

$5|(x^4-1)$ donc ...

$x^{17}-x=(x^{16}-1)(x)$

$17|(x^{16}-1)$ donc...
Merci beaucoup pour l'aide, j'ai du mal avec la logique de l’arithmétique (surtout) !