Exercice de produit scalaire

Salut,
Je suis bloqué devant une question que je vous propose:

Soient A, B, C et D quatre points distincts et non alignés du plan.
Soient I et J les milieux respectifs des segments [AC] et [BD]
Montrer que AB²+BC²+CD²+DA²=AC²+BD²+4IJ²

Je cherche surtout une résolution avec utilisation du produit scalaire

Merci beaucoup d'avance

Bonjour,

Cet exercice est classique !

Si tu connais le théorème de la médiane en application du produit scalaire, en l'utilisant 3 fois, tu obtiens le résultat.

Dans le triangle ABC : $\text{ab^2+bc^2=2ib^2+\frac{1}{2}ac^2$

Dans le triangle DAC : $\text{da^2+dc^2=2id^2+\frac{1}{2}ac^2$

En ajoutant membre à membre ces 2 égalités :

$\text{ab^2 + bc^2+da^2+dc^2=2ib^2+2id^2+ac^2$

En mettant 2 en facteur :

$\text{ab^2 + bc^2+da^2+dc^2=2(ib^2+id^2)+ac^2$

Il te reste à appliquer le théorème de la médiane au triangle IBD pour obtenir l'égalité voulue.