Trouver le conjugué d'un nombre complexe

Bonjour, je ne comprends pas un exercice

Soit A le point d'affixe z
B le point d'affixe f(z)= i+z / 1+z

Il faut trouver les points A(z) tels que B et A sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses en justifiant
Puis je dois trouver l'ensemble des points A(z) tel que B((f(z)) soit sur l'axe des ordonnées

Je ne comprends pas il faut donc trouver le conjugué de f(z) mais comment faire ?

Merci d'avance de votre aide

Bonsoir sophia33,

Résous l'équation f(z) = conjugué de z.

Bonjour, j'ai trouvé ça :

$\frac{i+x+iy}{1+x+iy}=\frac{x+i(y+1)}{(1+x)+iy}=\frac{x+i(y+1)}{(1+x)+iy}\times \frac{(1+x)-iy}{(1+x)-iy}= \frac{[x(1+x)+y(y+1)]+i[xy+(x+1)(y+1)]}{(x+1)^2+y^2}$

Est-ce bon ?
Merci

Une erreur de signe c'est -ixy

Merci ,
Juste la dernière ? :

$f(x)=[tex][x(1+x)+y(y+1)−i[xy+(x+1)(y+1)(x+1)2+y2f(x)=[tex]\frac{[x(1+x)+y(y+1)-i[xy+(x+1)(y+1)}{(x+1)^2+y^2}$

Re(f(x)) : $[x(1+x)+y(y+1)(x+1)2+y2\frac{[x(1+x)+y(y+1)}{(x+1)^2+y^2}$

Im(f(x)) : $[x(1+x)+y(y+1)−i[xy+(x+1)(y+1)(x+1)2+y2\frac{[x(1+x)+y(y+1)-i[xy+(x+1)(y+1)}{(x+1)^2+y^2}$

Est-ce possible que la partie imaginaire soit négatif ?

Je n'arrive pas après il faut trouver le conjugué, je dois résoudre un système ?

Merci de votre aide

excusez-moi
Im(f(x)) : juste à partir du -i, je n'arrive pas très bien à taper

Tu dois résoudre Re f(x) = x et Imf(x) = -y

f(z) = z
et Imf(z)= -z
?

Non,

Re f(z) = x et Imf(z) = -y

Ah d'accord merci,
je vais faire ça.
Bonne soirée

Bonsoir,

j'ai trouvé ça :

$[x(1+x)+y(y+1)](x+1)2+y2=x\frac{[x(1+x)+y(y+1)]}{(x+1)^2+y^2}=x$

⇔ $[x (1 + x) + y (y + 1)] = x (x + 1)$ ^2 $y^2$
$(x + 1)$ ^2 $y^2$ ≠0

⇔ $[x (1 + x) + y (y + 1)] - x (x + 1)$ ^2 $y^2$ =0
(x;y)≠(-1;0)

⇔x+x² +y²+y-x(x²+2x+1)+y²=0
(x;y)≠(-1;0)

⇔-x² $x^3$ +2y²+y=0
(x;y)≠(-1:0)

Je ne sais pas si c'est cela, mais je dois déterminer une équation de droite ou de cercle.

Merci d'avance

Une erreur au début :
[x(1+x)+y(y+1)]=x[(x+1)²+y²]
;....

Ah merci

donc :

⇔x[(1+x)+y(y+1)] - x[(x+1)²+y²]=0
(x;y)≠(-1;0)

⇔x+x²+y²+y-x[(x²+2x+1+y²)]
(x;y)≠(-1;0)

⇔x+x²+y²+y-x^3-2x²-x-y²
(x;y)≠(-1;0)

⇔-x^3-x²+y
(x;y)≠(-1;0)

mais comment déterminer si on a un x au cube ?
Je crois que je me suis encore trompée

x+x²+y²+y-x^3-2x²-x-xy² = 0
-x³-x² -xy²+y²+y = 0

écris l'autre relation

Merci beaucoup,

-i[xy+(x+1)(y+1) : (x+1)²+y² = -y

⇔-i[(xy+(x+1)(y+1)]+y[(x+1)²+y²]=0
(x;y)≠(-1;0)

⇔ -i (xy+xy+x+y+x) + y [(x+1)²+y²]=0

⇔-i (2xy+2x+y) + yx² + 2xy + y + $y^3$

⇔-i2xy - i2x - iy + yx² + 2xy + y + $y^3$ = 0

Commet supprimer les i ?

Tu identifies les parties imaginaires donc
xy+(x+1)(y+1) : (x+1)²+y² = -y
soit
xy+(x+1)(y+1) +y[ (x+1)²+y²] = 0
....

xy+(x+1)(y+1) : (x+1)²+y² = -y

xy+(x+1)(y+1) +y[ (x+1)²+y²] = 0

xy+xy+x+y+1+y(x²+2x+1+y²=0

2xy+x+y+1+yx² $2xy+y+y^3$

$4xy+y^3$ + yx²+2y+x+1=0

Est-ce ça ?
Ce que j'ai fais est faux alors ?
Pourquoi enlève-t-on les i comme cela ?

Merci

J'ai oublié un moins dans le post précédent :
-Tu identifies les parties imaginaires donc
xy+(x+1)(y+1) : (x+1)²+y² = -y
soit
-xy+(x+1)(y+1) +y[ (x+1)²+y²] = 0
....

Donc le résultat serait :

$y^3$ + yx²+2xy+2y+x+1=0 ?

Mais ce n'est pas grave si les i ont disparu ?

Je dois faire quoi après, un système ?

Tu as =
i(-xy+(x+1)(y+1)) : (x+1)²+y² = -iy
tu peux simplifier par i

Il faut trouver l'intersection des deux ensembles.

Tu aurais du partir de i + z = z(barre)(1+z)

Ok merci ,

donc j'ai :

-x³-x² -xy²+y²+y = 0
$y^3$ + yx²+2xy+2y+x+1=0

Je dois isoler x et y mais je n'arrive pas à déterminer une équation de cercle avec les x^3

Vraiment je suis perdue...

Reprend le calcul à partir de :
i + z = z(barre)(1+z)
soit
i + x + iy = (x-iy)(1+x+iy)
....

Ah oui merci !

i+x+iy = (x-iy)(1+x+iy)
⇔i + x + iy = x+x² + ixy - iy - ixy - (iy)²
⇔i + x + iy = x + x² - iy - (iy)²
⇔ x + i(1+y) = x² + x + i (-y-y²)
⇔ x = x² + x
1 + y = -y -y²
⇔ - x² = 0
2y + y² = -1

Est-ce ça ?
Mais comment déterminer x et y maintenant ?

Oui, avec une erreur de signe pour y²
tu résous :

x² = 0 soit x = 0
y² - 2y - 1 = 0

Je ne vois pas l'erreur de signe pour y² c'est bien -y² vu que c'est - (iy)² non ?

Je suis d'accord pour x=0
mais pourquoi y² - 2y - 1 = 0 ?
ce n'est pas +2y +1=0 ?

Merci

Non

-(iy)² = -i²y²
= -1×(-1)xy²
= y²

Ah d'accord merci

donc x=0

mais pourquoi y² - 2y - 1 = 0 ? pourquoi pas y²+2y+1=0 ?

Tu as
1 + y = -y + y²
donc ....

Equation du second degré à résoudre.

1 + y = -y+ y²
⇔ 0= -y + y² - 1 - y
⇔ 0= -2y +y² -1
⇔ y² - 2y - 1 =0

Delta = 8 > 0 donc 2 racines,

$x_1$ = 1 -(√8/2)
$x_2$ = 1 + (√8/2)

Tu peux simplifier

√8 = √(4×2) = 2√2

Merci donc $x_1$ = 1 - √2
$x_2$ = 1 + √2

Oui,

donc les coordonnées des points sont ....

( 0 ; 1 - √2)
( 0 ; 1 + √2)

il n'y a que deux points ?

Oui que deux points.

D'accord merci
Donc ca c'est les points A(z) tels que B et A sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Mais c'est les meme points pour trouver l'ensemble des points A(z) tel que B((f(z)) soit sur l'axe des ordonnées. Vu que les abscisses sont 0 ?

Non,

Pour la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées,
z = -x+ iy

Applique la même démarche.

Bonsoir,

J'ai trouvé ceci :

i+z = z( 1+ z )
i - x + iy = (-x + iy)( 1 - x + iy)
i - x + iy = -x + x² - xiy + iy + xiy + (iy)²
i - x + iy = - x + x² + iy + (iy)²

x + i (1 + y) = x² - x + i(y + y²)
x = x² - x
1+ y = y + y²
x²=0
y ² - 1 =0

Si c'est sur l'axe des ordonnées c'est donc un imaginaire pur ?

Attention c'est :
i+z = (-x+iy)(1+z)
soit
i+x+iy = (-x+iy)(1+x+iz)

Bonjour,

mais on ne remplace pas z par -x + iy ? dans :

i + z = ( - x + iy ) ( 1+z )

i + (-x + iy ) = ( - x + iy ) [ ( 1+( - x + iy)]

Ou ce n'est pas le même z ?

Merci

Ce n'est pas le même z.