raisonnement par recurence



  • Bonjour j ai quelques difficulté sur une partie de l exercice
    "Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1,4x-0,05x²"

    1c) "montrer que si x appartient a l intervalle [0;8] alors f(x) appartient a l intervalle [8;14]"

    est ce qu'il suffit de marquer que si 0≤x ≤8 alors f(0)≤f(x)≤f(8) et on les calcule et sa me donne 0≤f(x)≤8

    "on considère la suite u définie par u0=6 et pour tout entier naturel n: u n+1=f(un)"

    2b)"montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
    0≤un≤u n+1≤8 "

    pour l initialisation il n y a pas de problème mais la ou je coince c est pour l hérédité je ne sais pas comment faire

    2c)"en déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite"

    pour déduire qu'elle est convergente on se sert du théorème des suites majorée ou minorée
    mais pour la limite après l avoir calculé je trouve 0 et 8 mais laquelle des deux est la limite

    merci d avance 😁


  • Modérateurs

    Bonsoir artiko20,

    Pour la question 1c), il faut prendre en compte les variations de la fonction f. Montrer que sur l'intervalle indiqué, la fonction est croissante.
    Vérifie l'énoncé pour l'intervalle de f(x)



  • le sens de varaition etait demandé avant donc j ai juste a dire "d'apres la question precedente....."
    par contre pour la recurence je ne m en sort pas


  • Modérateurs

    Tu sais que 0 ≤ un ≤ 8
    Utilise la relation f(x) pour trouver un encadrement de un+1u_{n+1}.

    Indique tes calculs.



  • peut on faire deux raisonnement par recurence en meme temps
    c est a dire faire d'un coté
    0≤un≤8
    et de l'autre
    0≤un+1≤8
    (je fait les calculs)
    et une fois fait on dit que comme la suite est croissante un≤un+1
    donc 0≤un≤un+1≤8


  • Modérateurs

    Oui,
    mais il restera à démontrer que unu_n < un+1u_{n+1}



  • donc a faire un+1-un pour prouver qu'elle est croissante ou non


  • Modérateurs

    Oui



  • Mais il y a un moment dans l heredite ou je n y arrive pas
    on fait
    0≤un≤8
    0²≤un²≤8²
    0×-0.05≤un²×(-0.05)≤-3.2
    C est l etape d apres ou je ne comprend pas car on va metre des "un" des deux co te (+1.4un) et sa ne va pas prouver que l intervalle est juste deplus mon -3.2 est negatif donc sa ne va encore moin prouver que l intervalle est juste


  • Modérateurs

    si la suite est croissante
    0 ≤ un ≤ 8
    f(0) ≤ f(un) ≤ f(8)



  • en gros je nai pas besoin de faire l heredité il me suffi juste de prouver qu'elle est croissante grace a un+1-un
    et apres je m appuis de ce que j ai fait precedament sans calculer donc


  • Modérateurs

    Tu dois faire une démonstration par récurrence mais utilise la croissance de la fonction.



  • j ai deja fait mon initialisation ou sa me donne
    Si n=0 et S0=6
    Si n=1 et S1=6,6
    donc 0≤6≤6,6≤8 on a donc 0≤un≤un+1≤8
    donc la propriete est vrai pour le premier rang de n

    mais apres j ai pas tout compris

    desole si je patoge un peut mais comme on vient juste d 'attaque ce chapitre je suis un peu perdu 😄


 

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