Irrationnalité de e

[Romulus]

Bonsoir, j'ai cet exercice à faire mais je ne sais pas par ou commencer..
Si vous pouviez m'aider, je vous en serais reconnaissant !

Supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que e =p/q
avec q ≥ 2.

1. Montrer que q!e est alors un entier.
2. Justifier que si k est un entier tel que 1 ≤ k ≤ q, alors
   q!/k! est un entier.
3. Ecrire l'encadrement (1) pour n = q puis le multiplier par q !
4. En déduire que q ! e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
5. Que peut-on en conclure ?

Merci d'avance !

[Noemi]

Bonjour Romulus

A quoi correspond q!e ??

[Romulus]

q est un entier naturel
et on sait que e=p/q

on sait aussi que p est un entier

donc q!e est un entier? puisque c'est factorielle?

[Noemi]

d'accord factorielle
donc q!e = q(q-1)!×p/q = (q-1)!×p
donc....

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

[Romulus]

q!e = q(q-1)!×p/q = (q-1)!× p

donc.. c'est entier, car p et q sont des entiers?

[Noemi]

Car c'est un produit d'entiers.

[Romulus]

Ah oui d'accord!
et pour la 2) Justifier que si k est un entier tel que 1 ≤ k ≤ q, alors
q!/k! est un entier..?