Etudier les limites et variations d'une fonction rationnelle

Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire sur les fonctions mais je ne suis pas sûr de ce que je pense :

Soit $f(x)=3x2+8x−60x2+x−20f(x)=\frac{3x^2 + 8x - 60}{x^2 + x - 20}$
pour x dans N= R+ -{4} et Cf la courbe représentative

On demande d'étudier les limites de f aux bornes de N.
Il faut trouver les équations des asymptotes à la courbe.
Tableau de variations

Pour la 1. j'ai mis :

lim f(x)=3 (car lim 3x²/x²=3)
x->+ $∞\infty$

lim f(x)= - $∞\infty$ (car lim 3x²+8x-60=20 et lim x²+x-20=0-)
x-> 4
x<4

lim f(x)= +[tex]\infty[/tex] (car lim 3x²+8x-60=20 et lim x²+x-20=0+)
x->4
x>4

Je ne suis pas sûr de ce que veut dire R+ ? Ce sont les réels positifs à partir de 1 ?

Merci de votre aide

Bonjour Dany87,

C'est correct.
R+, ensemble des réels positifs, donc on commence par 0
calcule la limite quand x tend vers 0.

Ok merci, f(x) = 3
x->0
Donc pour les asymptotes ce serait :
y=3 est asymptote horizontale à Cf en + $∞\infty$
x=4 est asymptote verticale à Cf

C'est f(0) = 3.

le reste est juste.

Merci,

Donc mon tableau de variations complet de f sur N serait :

x 0 4 + $∞\infty$

f(x) 3 - - $∞\infty$ || + $∞\infty$ + $∞\infty$ - 3

Pourquoi -3 à la fin ?

x 0 4 + ∞

f(x) 3 - ∞|| +∞ 3

Oui c'est 3 je voulais mettre - pour mettre une flèche qui descend ainsi que de 3 vers - $∞\infty$ une flèche qui descend .

Par contre après j'ai d'autres questions que je ne comprends pas comment procéder :

Trouver par calcul deux réels a et b tels que : pour tout x de N :
$f(x)=a+bxx2+x−20f(x)=a+\frac{bx}{x^2+x-20}$

Merci d'avance de m'aider

Réduis l'expression au même dénominateur et identifie terme à terme.

f(x)= $a(x2+x−20)+bxx2+x−20\frac{a(x^2+x-20)+bx}{x^2+x-20}$

Je ne sais pas vraiment comment procéder ensuite

$f(x)=ax2+(a+b)x−20ax2+x−20f(x)=\frac{ax^{2}+(a+b)x-20a}{x^{2}+x-20}$
puis tu compares avec l'écriture de f(x)
ax² = 3x² soit a = ....
.....

Ok merci de votre aide

-20a = -60 donc a = 3

(a+b)x = 8x
(3+b)x= 8x
b=5

C'est juste cela qu'il faut faire ?

Oui,

c'est juste cela qu'il faut faire

Super ! merci !

Ensuite il y a une autre question :

Etudier la position relative de la courbe Cf et de son asymptote horizontale. On pourra s'aider de la question précédente .

Je ne comprends pas comment on peut étudier la position de la courbe on doit dire quoi, je l'étudie comment ?

Cherche le signe de f(x) - y
y étant l'équation de l'asymptote.

Je ne sais pas comment faire ...

f(x) - 3 = 5x/(x²+x-20)

tu cherches ensuite le signe de f(x)-3
en fait le signe de 5x
donc si x > 0, 5x .....
d'ou f(x) - 3 ......

Alors là je suis un peu perdu,
pourquoi - 3 ?

donc si x>0,5x la courbe est croissante mais comment on trouve l'asymptote ?

Merci de votre aide

y = 3 est l'équation de l'asymptote horizontale (réponse à la question 2)

tu cherches ensuite le signe de f(x)-3
en fait le signe de 5x
donc si x > 0, alors 5x > 0
d'ou f(x) - 3 ......

Oui d'accord
Nous n'avons jamais fait de question comme cela . Je ne comprends pas ce que vous essayer de me faire dire. Donc f(x) est positif ? Mais est-ce une position relative ?

y = 3 est l'équation de l'asymptote horizontale (réponse à la question 2)

tu cherches ensuite le signe de f(x)-3
en fait le signe de 5x
donc si x > 0, alors 5x > 0
d'ou f(x) - 3 > 0,

La courbe est au dessus de l'asymptote

Ah d'accord merci je comprends mieux, mais pourquoi on écrit f(x)-3 le tiret signifie quoi ?

C'est f(x) - y
f(x) moins y et y = 3
donc f(x) - 3.

D'accord merci j'ai compris.

Mais ensuite j'ai :

Soit la focntion g définie sur N par g(x)= $3∣x2∣+8∣x∣−60∣x2∣+∣x∣−20\frac{3|x^2|+8|x|-60}{|x^2|+|x|-20}$

Etudier lim g(x) en utilisant la limite d'une fonction composée.
x->+ $∞\infty$

Je sais faire mais pas en utilisant la fonction composée je ne comprends pas ce qu'on appelle "composée".

Pour un nouveau exercice, il faut proposer un nouveau sujet.
Si on pose f(x) = valeur absolue de x et
h(x) = (3x²+8x-60)/(x²+x-20)

comment on écrit h(f(x)) ?

Bonjour,
c'est le même exercice c'est juste une autre question, la fonction est la même que celle tout en haut.

h(f(x))= 3|x²|+8|x|-60 / |x|²+|x|-20

valeur absolue de h(x) ?

Quelle propriété connais tu sur le limites des fonctions composées ?

J'arrive quand il y a une racine, par exemple on pose X = √... et dans ce cas on prend les mônomes de plus haut degré, mais là il n'y a pas de racine c'est valeur absolue . On décompose mais je ne sais pas du tout comment faire . Je dois mettre les x en facteur ? mais ce serait pas par fonction composée mais par factorisation du terme dominant, je n'y arrive vraiment pas...

Et en utilisant ce qui est indiqué dans mon avant dernier mel ?

Je sais que la limite en + $∞\infty$ de valeur absolue est + $∞\infty$ mais je ne sais pas comment décomposer , je prend les monomes de plus haut degré ?

oui,
pour f(x) les monômes de plus haut degré.

oui,
pour f(x) les monômes de plus haut degré
donc lim de f(x) en +∞
....

lim $3x2x2\frac{3x^2}{x^2}$ = 3
x->+ $∞\infty$

lim valeur absolue = |3|
x->3

donc lim (h(f(x))= |3|
x->+ $∞\infty$

Est-ce celà ?

Tu commences par la limite de valeur absolue de x.

lim valeur absolue de x = + $∞\infty$

Comment note-on valeur absolue de x, il y a pas une notation pour écrire lim valeur absolue de x , |x| ?

Si
lim |x| = +∞ quand x tend vers ∞

D'accord merci donc
lim |x| = + $∞\infty$

lim f(x) = lim 3x² / x² = 3

donc lim g(x) = + $∞\infty$

Est-ce juste ?

C'est correct.

Ok merci, mais c'est pareil qu'étudier une fonction, pourquoi appelle-t-on celà fonction composée ?

Tu as d'abord étudié la limite de fonction valeur absolue puis la limite de la fonction sans valeur absolue.