Inéquation se ramenant au second degré

Bonjour,

Comme l'indique j'ai une équation à résoudre dont je ne sais pas comment débuter, cette équation est : √-x²-x+6 < 1

J'avais tout d'abord pensé, étant donné que c'est une équation du second degré, à faire "sauter la racine carré", puis résoudre l'équation sans la racine carré en faisant passer le 1 de l'autre côté ce qui devient -x²-x+6-1 < 0

J'attends de l'aide, s'il vous plaît, merci.

Veitchii.

Bonjour Veitchii,

Cherche d'abord sur quel domaine la racine carrée existe,
Puis élève au carré et résous l'inéquation.

Domaine? C'est à dire, je comprends pas.

L'ensemble de définition.

Oui, parce qu'une expression $x$ sous une racine carrée doit être positive $x≥0x\ge 0$
et on a toujours : $x≥0.\sqrt{x}\ge 0.$

Donc, avant de résoudre l'inéquation, tu dois savoir pour quelle valeur de $x$ on a :
$−x2−x+6≥0\ -x^2-x+6\ge 0$

C'est obligatoire pour exclure, de la solution, toutes les valeurs de $x$ qui ne satisfont pas à cette 1ère condition/inéquation. Après, seulement, tu pourras faire l'élévation au carré et résoudre l'inéquation proposée.

@+

Mais je comprends pas une chose dans vos explications, ayez des mots plus simples c'est comme ça que j'arriverais à comprendre bien les choses..

Donc, moi, mon problème c'est que je ne sais pas comment commencer. La racine carré me gêne dans tout ça..

Et puis l'équation c'est √-x²-x+6 ≤ 1

Je ne comprends pas pourquoi chez toi le 1 disparaît.

Bonjour,

Ce que tu ne comprends pas, c'est que le fait d'élever au carré, pour résoudre l'inéquation de l'énoncé, introduit des solutions "parasites", parce qu'en dehors du domaine de définition de :
$−x2−x+6\sqrt{-x^2-x+6}$ .
Pour déterminer ce domaine, il faut résoudre d'abord cette inégalité : $−x2−x+6≥0-x^2-x+6\ge 0$ .

Ensuite, seulement, tu pourras calculer (en élevant au carré) l'inégalité de l'énoncé :
$\sqrt{-x^2-x+6} < 1.$

Voilà, c'est peut être pas très évident mais c'est la démarche logique à adopter.

Donc si j'ai bien compris, je résous tout d'abord cette inéquation

-x²-x+6 ≥ 0 avec delta, et j'élabore le tableau de signe en fonction du nombre de racine, est-ce bien cela?

Après ça, je résoudre l'inéquation √-x²-x+6 < 1 en élevant au carrée, mais dés deux côtés pour que la racine carrée disparaît c'est bien ça?

Veitchii
Donc si j'ai bien compris, je résous tout d'abord cette inéquation
-x²-x+6 ≥ 0 avec delta, et j'élabore le tableau de signe en fonction du nombre de racine, est-ce bien cela ?
Oui, en étudiant son signe, tu dois déterminer l'intervalle sur lequel ce trinôme est positif. Çà servira à la fin pour "croiser" les résultats.

Citation
Après ça, je résoudre l'inéquation √-x²-x+6 < 1 en élevant au carrée, mais dés deux côtés pour que la racine carrée disparaît c'est bien ça ?

Exact, là aussi même technique. Pour finir, tu devras sélectionner l’intersection des intervalles issus des deux inéquations.

Courage

D'accord merci. Je vous informe de mon avancé !

Désolé pour le double-post.

Alors, pour l'inéquation -x²-x+6 ≥ 0

J'ai trouvé un delta étant égale à 25 donc positif, ce qui me donne deux racines x1 = 2 et x2 = -3.
J'ai établis mon tableau de signe, et je trouve comme intervalle dans laquelle ce trinôme est positif [ -3 ; 2 ].

Donc le domaine de cette inéquation est -3 ; 2 est-ce bien cela?

Et donc après, que dois-je faire ?

Vérifie les calculs, comment trouves tu 12 et -13 ?

L'inéquation -x² -x +6 ≥ 0

avec a = -1 ; b = -1 et c = 6

∇ = b² - 4ac = (-1)² - 4 x (-1) x 6 = 1 + 24 = 25
Résultat positif donc deux racines.

x1 = -b - √∇ / 2a = 1 - 25 / 2 x (-1) = -24 / -2 = 12

x2 = -b + √∇ / 2a = 1 + 25 / 2 x (-1) = 26 / -2 = -13

Et pour le tableau de signe ben on a pour la colonne des x :
-∞ -13 12 +∞

0 + 0 -

Ou est l'erreur? Je ne là vois pas..

l'erreur est à √delta
√25 = 5

Ah oui c'est vrai.. Tout bête.

Donc, pour l'inéquation, les racines sont x1 = 2 et x2 = -3.
Le trinôme est positif sur [-3 ; 2]

Ensuite, que dois-je faire ?

Ensuite tu résous
-x²-x + 6 -1 < 0

Me faut quand même une transition entre ces deux inéquations car si je passe d'une inéquation à une autre comme cela, mon correcteur comprendra pas grand chose.

Une phrase de transition tout simple, je trouve pas.

Suis les indications de FairMaths
pour x compris entre -3 et 2 le terme sous le radical est positif,
on élève chaque membre au carré
cela donne
-x² - x + 6 < 1
....

Oui.
Donc j'ai élevé au carré des deux côtés,

√-x²-x+6 ≤ √1 ⇔ -x²-x+6 ≤ 1 ⇔ -x² -x +5 ≤ 0

a = -1 ; b = -1 et c = 5
∇ = 21
x1 = 1 - √21 / -2
x2 = 1 + √21 / -2

Inférieur ou égale à 0 sur ] -∞ ; x2]U[x1 ; +∞ [

Voilà, j'attends des avis.

Tu prends maintenant en compte le fait que x est compris entre -3 et 2 et tu donnes l'ensemble solution.

Noemi
Tu prends maintenant en compte le fait que x est compris entre -3 et 2 et tu donnes l'ensemble solution.

Pour cela, je donne la valeur approché de x1 et x2 de l'inéquation √-x²-x+6 ≤ 1 ?

Calcule l'intersection des deux ensembles solutions.

Après avoir trouvé l'intervalle dans laquelle mon inéquation était inférieur ou égale à 0, que dois-je faire ?

Et puis, vous parlez d'intersection.. Bien beau, mais faut savoir l'utiliser. Donner moi une piste, s'il vous plaît, ou des explications à cela.

Merci.

Je dois rendre ça pour lundi, help s'il vous plaît très urgent.
Merci.

Bonjour,

Noemi et FaireMaths t'ont bien aidé !

Comme elles ne sont pas là à l'instant , je regarde ta dernière question.

Il ne te manque plus que la conclusion.

Si j'ai bien lu , l'ensemble de définition de l'inéquation est D=[-3;2]

Sur R, l'inéquation -x²-x+5 < 0 a pour ensemble de solutions I :

$i=]−∞,−1−212[u]−1+212,+∞[i=]-\infty,\frac{-1-\sqrt{21}}{2}[ u ]\frac{-1+\sqrt{21}}{2},+\infty[$

En prenant les valeurs approchées :

$−1−212≃−2.79\frac{-1-\sqrt{21}}{2} \simeq -2.79$

$−1+212≃+1.79\frac{-1+\sqrt{21}}{2} \simeq +1.79$

Il te fautl'intersection S ( c'est à dire la partie commune ) de D et I

Je te conseille de tracer un axe .

Tu places les 4 valeurs utiles.
Tu passes en couleur verte , par exemple , D
Tu passes en couleur rouge , par exemple , I

L'ensemble S des solutions cherché serala partie coloriée à la fois en vert et en rouge. ( *elle sera composée de deux intervalles *)

Bonjour mtschoon, j'ai fait exactement ce que vous m'avez dit, mais je ne trouve pas deux intervalles.

J'ai tracé l'axe, sur l'axe des abscisses j'ai placé -3 et sur l'axe des ordonnés 2.
Pour I, j'ai placé sur l'axe des abscisses x1, et l'axe des ordonnées x2.

Pour conclure, mon intervalle est :

S= [-3 ; -2,79]

J'attends des avis..
Merci.

La valeur extrême -2,79 est à exclure, il manque un intervalle ]1,79; ....]

Veitchii , tu n'as pas fait ce que je t'ai dit...

Je t'ai dit :
Citation
Je te conseille de tracer un axe Tu places les 4 valeurs utiles.

Les 4 valeurs -2 , 3 , $x_1$ , $x_1$ , $x_2$ doivent être placées sur un même axe, sinon , tu ne peux pas faire d'intersection !

En plus , dans ta réponse finale , il faut utiliser les valeurs irrationnelles exactes et non les valeurs approchées.

Ben ça donne.

S = [ -3 ; x1[U]x2 ; 2]

C'est bon !

Ma toute première inéquation : √-x²-x+6 < 1 réponds à cette intervalle S ?

Oui ,

S est l'ensemble des solutions de l'inéquation : $\fbox{\sqrt{x^2-x+6} \lt 1}$

Mais , si tu poses cette question , c'est que tu n'as pas bien compris !

J'essaie de te mettre
la synthèse de l'étude:

SYNTHESE :

Tu as à résoudre une inéquation du type $a<1\sqrt a \lt 1$ , sur R

Condition d'existenceA ≥ 0pour que √A existe d'oùensemble de définition D

2)Tu dois travailler sur D

Sur D , les deux membres sont positifs doncl'élévation au carréest régulière.

√A ≤ 1 <=> (√A)² ≤ 1² <=> A ≤ 1 <=> A-1 ≤ 0

En résolvant cette inéquation A-1 ≤ 0 , tu obtiens l'ensemble I des solutions sur R

Comme cela ne s'applique QUE sur D,l'ensemble S des solutions de √A ≤ 1 est S=D ∩ I

Je te conseille de refaire cet exercice seul(e) pour être sûr(e) de le maîtriser.

Ok, j'ai pas trop compris.. Mais bon, merci quand même.

Si besoin, lorsque tu auras revu tout ça , essaie de dire précisément ce que tu ne comprends pas.

Nous essayerons de t'éclairer.

Bon courage !