Nombre d'or et récurrence

Bonjour,

Je suis actuellement coincée sur un exercice de mon DM de maths. J'ai fait les premières questions, mais je ne parviens pas à continuer... Par conséquent, j'aurais besoin d'un peu d'aide.

Voici mon DM :

Le nombre d'or "phi" est la solution positive de l'équation x²-x-1=0
Démontrer sans calculer phi, que $\frac{1}{phi}$
et phi > 1

J'ai réussi cette question

a est la suite définie par $a_{0}=1$
et $an+1=1+1ana_{n+1}= 1+ \frac{1}{a_{n}}$

a) Conjecturer la limite et le sens de variation de a

b)Montrer que pour tout entier n non nul, $32≤an≤2\frac{3}{2}\leq a_{n}\leq 2$
Je l'ai démontré par récurrence

c) Montrer en utilisant phi≥1, que pour tout entier naturel non nul, $abs(an+1−φ)≤23abs(an−φ)abs(a_{n+1}-\varphi )\leq \frac{2}{3} abs(a_{n}-\varphi )$

je suis bloquée ici, je ne sais pas vraiment ce que j'ai le droit de faire avec la valeur absolue, si j'ai le droit de calculer phi, si je dois utiliser un raisonnement par récurrence ou non

d) En déduire par récurrence que pour tout entier naturel non nul n, $∣an−φ∣≤23n−1∣a1−φ∣\left|a_{n}- \varphi \right| \leq \frac{2}{3}^{n-1}\left|a1- \varphi \right|$
je n'ai pas trop compris comment en venir là, j'imagine qu'il faut utlisier la question précédente...

e) Déterminer la limite de la suite a et déterminer un nombre entier naturel p tel que dès que n≥p on a $∣an−φ∣≤10−6\left|a_{n}- \varphi \right|\leq 10^{-6}$

Voilà la première partie de mon exercice. En espérant avoir été claire.
Merci d'avance !

Bonjour Suldrun,

Ecris $a_{n+1}$ - phi en fonction de $a_n$ et phi en utilisant les égalités puis tu majores le terme de droite.

J'ai cette égalité : $an+1−φ=1+1an−φa_{n+1}-\varphi = 1 + \frac{1}{a_{n}}-\varphi$
Mais je ne comprends pas ce que tu veux dire par majorer le terme de droite.
J'imagine que tu me proposes de trouver un majorant. Sachant que phi est compris entre 1 et 2 et que an est compris entre 1.5 et 2, le terme de droite peut être majoré par 2/3 ? Mais où va t'on ?

Remplace phi par 1 + 1/phi

$−φ=1+1an−1−1φ=φ−ananφa_{n+1}\ - \varphi = 1 + \frac{1}{a_{n}}-1-\frac{1}{\varphi } =\frac{\varphi -a_{n}}{a_{n}\varphi }$
j'imagine que comme c'est une valeur absolue, c'est égal à $an−φanφ\frac{a_{n}-\varphi }{a_{n}\varphi }$
et comme phi>1 et an supérieur à 3/2, an-phi est multiplié par un nombre inférieur à 2/3 à gauche, alors qu'il n'est multiplié que par 2/3 à droite.
C'est bien ça ?

Je vous remercie énormément pour votre aide, je n'y serais jamais parvenue je crois (si j'y suis bien parvenue).

Pas très clair ton raisonnement
A partir de l'égalité, tu peux passer au valeur absolue,
puis étudier le dénominateur
avec
1/an ≤ 2/3 et1/℘ < 1 donc ....