Devoir maison sur les complexes


  • P

    Bonjour à tous(tes),
    Pour les vacances mon professeur nous a donné un devoir maison sur les complexes. Le problème est que ayant déjà des lacunes et même après une semaine de recherche je n'arrive pas à résoudre le premier exercice. Je me permet donc de m'adresser à vous.

    On considère le polynôme sur les nombres complexes mathbbCmathbb{C}mathbbC par :

    P(z) = z3z^3z3-(2+2√3)z23)z^23)z2+16+8√3

    1. Calculer P(-2)
      Jusque là aucun soucis je trouve P(-2) = 0

    2)Trouver les nombres a et b tels que : P(z) = (z+2)(z2(z+2)(z^2(z+2)(z2+az+b)
    Et c'est ici que je bloque. Voilà mon début de raisonnement :
    Je développe ce qui me donne P(z) = zzz^3+(<em>a</em>+2)z2+(<em>a</em>+2)z^2+(<em>a</em>+2)z2+(b+2a)z+2b
    Mon soucis se trouve au niveau des z. Car si j'ai bien compris il faudrait que je me serve de l'équation de départ. Or dans celle-ci il n'y a pas de z.

    Merci d'avance et bonne journée !


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Pitchoune1996,

    S'il n'y a pas de z c'est que le coefficient est nul donc b + 2a = 0


  • P

    La réponse était tellement évidente, pardonnez moi pour cette question 😊 ! Mais merci d'y avoir répondu.

    Grâce à votre aide j'obtient donc :

    a=-2√3 et b=4√3

    Suite à cette question vient :

    1. Résoudre l'équation z2z^2z2-(4+2√3)z+8+4√3=0

    Mon raisonnement est le suivant :
    Comme souvent en mathématiques il faut se servir des questions précédentes. J'ai donc remplacé a et b :

    P(z)=(z+2)(z²-2√3+4√3)
    P(z)=z3P(z)=z^3P(z)=z3-(2√3-2)z²+8√3

    Or je ne vois pas de lien. Je ne peux pas utiliser Δ car j'ai un z au cube et je n'arrive pas non plus à faire le lien entre les deux équations. J'ai essayer de factoriser par z ou au contraire de diviser.

    Merci d'avance et bonne soirée


  • N
    Modérateurs

    Vérifie les calculs :
    a + 2 = -2-2√3; soit a = .....
    2b = 16 + 8√3; b = ....

    et tu vérifies que 2a + b = 0


  • P

    Mais alors 2a + b n'égal plus 0 mais 8.
    Car a = -2√3 et b = 8 + 4√3

    Est ce que je peux alors me servir de l'équation première ? Car si les deux ne sont pas égales entre elles, je ne peux pas m'en servir si ?


  • N
    Modérateurs

    As tu vérifié les calculs ?

    a + 2 = -2-2√3; soit a = -4 -2√3
    2b = 16 + 8√3; b = 8 + 4√3

    2a + b = 0 car -8-4√3 + 8 + 4√3 = 0 !!


  • P

    Ouhla ! Si je n'arrive même plus à faire des équations toutes simples ...

    Donc mon équation P(z) devient :
    P(z) = (z+2) [z² -(4+2√3)z +8+4√3]
    Soit P(z) = z3z^3z3+(-4-2√3+2)z²+16+8√3

    Pour la question 3) Résoudre l'équation z2z^2z2-(4+2√3)z+8+4√3=0
    J'ai bien compris qu'il fallait faire un lien. Alors j'ai fait plusieurs tentatives :

    Diviser la deuxième équation et la comparer avec la troisième :
    z2−4z−23z+2z+16z+83zz^{2}-4z-2\sqrt{3}z+2z+\frac{16}{z}+\frac{8\sqrt{3}}{z}z24z23z+2z+z16+z83
    Mais comme j'ai des nombres qui se divisent par z je ne sais pas comment faire.

    Multiplier la troisième équation par z et la comparer avec la deuxième :
    z³-4z²-2√3z²+8z+4√3z
    Une fois de plus je ne vois pas le lien.
    Je pense qu'il faut à partir de la troisième expression retomber sur la deuxième afin de pouvoir résoudre P(z) = 0. Mais je n'y arrive pas ...

    Un petit indice pour me mettre sur la voix ne serait pas de refus ! Merci d'avance !


  • N
    Modérateurs

    Pour résoudre l'équation P(z) = 0,
    tu utilises la forme factoriser
    P(z) = (z+2)(....)
    Un produit de facteur est nul si et seulement si ....


  • P

    Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est égal à 0.

    Mais pour répondre à la question :
    3) Résoudre l'équation z²-(4+2√3)z+8+4√3=0

    J'ai bien compris qu'il fallait que je me serve de la forme factoriser seulement il faut d'abord que je prouve que les deux équations sont égales non ?


  • N
    Modérateurs

    La preuve a été faite à la question 2 quand les nombres a et b ont été trouvés.


  • P

    Aaah d'accord ! Merci beaucoup !

    Donc le raisonnement est le suivant :
    3) Résoudre l'équation z²-(4+2√3)z+8+4√3=0
    On fait le delta et on trouve :
    z1=2+3−2i(832)z_{1} = 2+\sqrt{3}-2i(\frac{\sqrt{8\sqrt{3}}}{2})z1=2+32i(283)
    z2=2+3+2i(832)z_{2} = 2+\sqrt{3}+2i(\frac{\sqrt{8\sqrt{3}}}{2})z2=2+3+2i(283)

    Enfin pour P(z) = 0
    On a comme solution z = -2 (z+2=0 d'où z=-2)
    z1z_1z1 et z2z_2z2 de la question précédente.

    Encore merci pour cette aide précieuse !


  • P

    Pardonnez moi, je crois avoir fait une erreur de calcul.

    z1=2+3−i(4+3232)z_{1} = 2+\sqrt{3} - i(\frac{\sqrt{4+32\sqrt{3}}}{2})z1=2+3i(24+323)
    z2=2+3+i(4+3232)z_{2} = 2 + \sqrt{3}+i(\frac{\sqrt{4+32\sqrt{3}}}{2})z2=2+3+i(24+323)


  • N
    Modérateurs

    Refais le calcul pour le discriminant qui vaut -4.


  • P

    Pourtant je n'arrive pas à tomber sur -4
    Δ = b²-4ac
    Δ = (-4-2√3)² - 4 × 1 × (8+4√3)
    Δ = (-4)² -2×(-4)×(-2√3) + (-2√3)² - 32 - 16√3
    Δ = 16 - 16√3 + 12 - 32 - 16√3

    Ce n'est pas la peine de continuer je vois bien que mon erreur doit se trouver par là puisque pour avoir -4 il faudrait que les 16√3 s'annule ce qui n'est pas le cas ... Est-ce parce qu'il ne faut pas prendre (-2√3) mais juste 2√3 ?


  • N
    Modérateurs

    Δ = (-4-2√3)² - 4 × 1 × (8+4√3)
    Δ = (-4)² +2×(-4)×(-2√3) + (-2√3)² - 32 - 16√3
    Δ = 16 +16√3 + 12 - 32 - 16√3
    = -4

    Pour (-4-2√3) si tu choisis a = -4 et b = -2√3, c'est de la forme a+b
    donc a² + 2ab + b²


  • P

    Ah d'accord ! Mais alors pour les racines, -b est ce -4-2√3 ou -4+√3.
    Je ne comprends pas très bien désolé ...


  • N
    Modérateurs

    Pour le calcul des racines du polynôme du second degré
    b = -2 - 2√3,
    donc -b = 2 + 2√3


  • P

    Pardonnez moi pour la réponse tardive ... Mais la fin des vacances était un peu une course folle avec la reprise ! Je vous remercie de votre aide ! Et même si je ne l'espère pas je pense avoir besoin de vous recontacter rapidement.
    A bientôt !


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