Devoir maison sur les complexes

Bonjour à tous(tes),
Pour les vacances mon professeur nous a donné un devoir maison sur les complexes. Le problème est que ayant déjà des lacunes et même après une semaine de recherche je n'arrive pas à résoudre le premier exercice. Je me permet donc de m'adresser à vous.

On considère le polynôme sur les nombres complexes $mathbb{C}$ par :

P(z) = $z^3$ -(2+2√ $3)z^2$ +16+8√3

Calculer P(-2)
Jusque là aucun soucis je trouve P(-2) = 0

2)Trouver les nombres a et b tels que : P(z) = $z+2)(z^2$ +az+b)
Et c'est ici que je bloque. Voilà mon début de raisonnement :
Je développe ce qui me donne P(z) = $z$ ^3 $em>a</em>+2)z^2$ +(b+2a)z+2b
Mon soucis se trouve au niveau des z. Car si j'ai bien compris il faudrait que je me serve de l'équation de départ. Or dans celle-ci il n'y a pas de z.

Merci d'avance et bonne journée !

Bonjour Pitchoune1996,

S'il n'y a pas de z c'est que le coefficient est nul donc b + 2a = 0

La réponse était tellement évidente, pardonnez moi pour cette question ! Mais merci d'y avoir répondu.

Grâce à votre aide j'obtient donc :

a=-2√3 et b=4√3

Suite à cette question vient :

Résoudre l'équation $z^2$ -(4+2√3)z+8+4√3=0

Mon raisonnement est le suivant :
Comme souvent en mathématiques il faut se servir des questions précédentes. J'ai donc remplacé a et b :

P(z)=(z+2)(z²-2√3+4√3)
$P(z)=z^3$ -(2√3-2)z²+8√3

Or je ne vois pas de lien. Je ne peux pas utiliser Δ car j'ai un z au cube et je n'arrive pas non plus à faire le lien entre les deux équations. J'ai essayer de factoriser par z ou au contraire de diviser.

Merci d'avance et bonne soirée

Vérifie les calculs :
a + 2 = -2-2√3; soit a = .....
2b = 16 + 8√3; b = ....

et tu vérifies que 2a + b = 0

Mais alors 2a + b n'égal plus 0 mais 8.
Car a = -2√3 et b = 8 + 4√3

Est ce que je peux alors me servir de l'équation première ? Car si les deux ne sont pas égales entre elles, je ne peux pas m'en servir si ?

As tu vérifié les calculs ?

a + 2 = -2-2√3; soit a = -4 -2√3
2b = 16 + 8√3; b = 8 + 4√3

2a + b = 0 car -8-4√3 + 8 + 4√3 = 0 !!

Ouhla ! Si je n'arrive même plus à faire des équations toutes simples ...

Donc mon équation P(z) devient :
P(z) = (z+2) [z² -(4+2√3)z +8+4√3]
Soit P(z) = $z^3$ +(-4-2√3+2)z²+16+8√3

Pour la question 3) Résoudre l'équation $z^2$ -(4+2√3)z+8+4√3=0
J'ai bien compris qu'il fallait faire un lien. Alors j'ai fait plusieurs tentatives :

Diviser la deuxième équation et la comparer avec la troisième :
$z2−4z−23z+2z+16z+83zz^{2}-4z-2\sqrt{3}z+2z+\frac{16}{z}+\frac{8\sqrt{3}}{z}$
Mais comme j'ai des nombres qui se divisent par z je ne sais pas comment faire.

Multiplier la troisième équation par z et la comparer avec la deuxième :
z³-4z²-2√3z²+8z+4√3z
Une fois de plus je ne vois pas le lien.
Je pense qu'il faut à partir de la troisième expression retomber sur la deuxième afin de pouvoir résoudre P(z) = 0. Mais je n'y arrive pas ...

Un petit indice pour me mettre sur la voix ne serait pas de refus ! Merci d'avance !

Pour résoudre l'équation P(z) = 0,
tu utilises la forme factoriser
P(z) = (z+2)(....)
Un produit de facteur est nul si et seulement si ....

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est égal à 0.

Mais pour répondre à la question :
3) Résoudre l'équation z²-(4+2√3)z+8+4√3=0

J'ai bien compris qu'il fallait que je me serve de la forme factoriser seulement il faut d'abord que je prouve que les deux équations sont égales non ?

La preuve a été faite à la question 2 quand les nombres a et b ont été trouvés.

Aaah d'accord ! Merci beaucoup !

Donc le raisonnement est le suivant :
3) Résoudre l'équation z²-(4+2√3)z+8+4√3=0
On fait le delta et on trouve :
$z1=2+3−2i(832)z_{1} = 2+\sqrt{3}-2i(\frac{\sqrt{8\sqrt{3}}}{2})$
$z2=2+3+2i(832)z_{2} = 2+\sqrt{3}+2i(\frac{\sqrt{8\sqrt{3}}}{2})$

Enfin pour P(z) = 0
On a comme solution z = -2 (z+2=0 d'où z=-2)
$z_1$ et $z_2$ de la question précédente.

Encore merci pour cette aide précieuse !

Pardonnez moi, je crois avoir fait une erreur de calcul.

$z1=2+3−i(4+3232)z_{1} = 2+\sqrt{3} - i(\frac{\sqrt{4+32\sqrt{3}}}{2})$
$z2=2+3+i(4+3232)z_{2} = 2 + \sqrt{3}+i(\frac{\sqrt{4+32\sqrt{3}}}{2})$

Refais le calcul pour le discriminant qui vaut -4.

Pourtant je n'arrive pas à tomber sur -4
Δ = b²-4ac
Δ = (-4-2√3)² - 4 × 1 × (8+4√3)
Δ = (-4)² -2×(-4)×(-2√3) + (-2√3)² - 32 - 16√3
Δ = 16 - 16√3 + 12 - 32 - 16√3

Ce n'est pas la peine de continuer je vois bien que mon erreur doit se trouver par là puisque pour avoir -4 il faudrait que les 16√3 s'annule ce qui n'est pas le cas ... Est-ce parce qu'il ne faut pas prendre (-2√3) mais juste 2√3 ?

Δ = (-4-2√3)² - 4 × 1 × (8+4√3)
Δ = (-4)² +2×(-4)×(-2√3) + (-2√3)² - 32 - 16√3
Δ = 16 +16√3 + 12 - 32 - 16√3
= -4

Pour (-4-2√3) si tu choisis a = -4 et b = -2√3, c'est de la forme a+b
donc a² + 2ab + b²

Ah d'accord ! Mais alors pour les racines, -b est ce -4-2√3 ou -4+√3.
Je ne comprends pas très bien désolé ...

Pour le calcul des racines du polynôme du second degré
b = -2 - 2√3,
donc -b = 2 + 2√3

Pardonnez moi pour la réponse tardive ... Mais la fin des vacances était un peu une course folle avec la reprise ! Je vous remercie de votre aide ! Et même si je ne l'espère pas je pense avoir besoin de vous recontacter rapidement.
A bientôt !