Exponentielles



  • Voila encore un exercice de DM. La encore j'ai du mal, merci a ceux qui pourraient m'aider...

    On désigne par f une fonction dérivable sur R et par f' sa fonction dérivée. Ces fonctions vérifient les propriétés suivantes:
    (1) pour tout nombre réel x, (f'(x))^2 - (f(x))^2 =1
    (2) f'(0)=1
    (3) la fonction f' est dérivable sur R.

    1.a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f'(x) diff/ 0
    b) Calculer f(0)

    1. En dérivant chauqe membre de l'égalité de la proposition (1), démontrer que:
      (4) pour tout nombre réel x, f''(x)=f(x), oú f'' désigne la fonction dérivée seconde de la fonction f.

    2. On pose u=f' + f et v=f' - f
      a) Calculer u(0) et v(0)
      b) Démontrer que u'=u et v'=-v.
      c) En déduire les fonctions u et v.
      d)En déduire que, pour tout réel x, f(x)= (ex(e^x - exe^{-x} )/2

    4.a) Etudier les limites de la fomction f en +inf/ et en -inf/
    b) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

    5.a) Soit m un nombre réel: Démontrer l'équation f(x)=m a une unique solution (alpha) dans R.
    b) Déterminer cette solution lorsque m=3 (on en donnera la valeur exacte puis une valeur approchée décimale à 10210^{-2} près).



  • S'il vous plait j'ai vraiment besoin d'aide!



  • Salut.

    Je n'entre pas dans les détails.

    1)a) f'(x)² = 1 + f(x)² : est-ce que cette quantité peut devenir nulle ?

    1)b) f(0)² = f'(0)² - 1 : on te donne f'(0)...

    1. la dérivée du membre de droite est 0 ; celle du membre de gauche est égale à
      2f''(x)f'(x) - 2f'(x)f(x).
      Alors on a bien la relation (4), car il est possible de diviser l'égalité
      2f''(x)f'(x) - 2f'(x)f(x) = 0
      par 2f'(x), n'est-ce pas...


  • u=f'+f donc u' =f"+f' or dans le petit 2 on a demontré que f=f" que tu remplace dans u tu as donc u=f'+f"

    donc u=u'

    de meme pour v=f'-f donc v'=f"-f' tu remplace f par f" dans v et tu trouves v=f'-f" donc v'=-v



  • c) u= f'+f et v=f'-f uv=(f'+f)(f'-f)=f'2 -f2 =1 ce qui implique que u et v sont inverses!

    u=u' => (u'/u)=1 ,je cherche la primitive de chacun des membres:la primitive de u'/u est ln(u) et le primitive de 1 est x donc g ln(u) = x je prends l'exponentielle de chaque cote et j'arrive a exp(ln(u))=u et de l'autre coté a exp(x)

    donc u = e(x)

    je te laisse faire la meme demarche pour v!!!

    u-v =f'+f-(f'-f)

    u-v= 2f

    f=(u-v)/2 tu remplace u et v par leur valeur et tu trouve f= (e(x) - e(-x))/2



  • t'aurais pas un autre moyen de calculer ca parceke on a pas vu les primitives et tout ca (je veux dire ln(...) )

    patibulaire
    c) u= f'+f et v=f'-f uv=(f'+f)(f'-f)=f'2 -f2 =1 ce qui implique que u et v sont inverses!

    u=u' => (u'/u)=1 ,je cherche la primitive de chacun des membres:la primitive de u'/u est ln(u) et le primitive de 1 est x donc g ln(u) = x je prends l'exponentielle de chaque cote et j'arrive a exp(ln(u))=u et de l'autre coté a exp(x)

    donc u = e(x)

    je te laisse faire la meme demarche pour v!!!

    u-v =f'+f-(f'-f)

    u-v= 2f

    f=(u-v)/2 tu remplace u et v par leur valeur et tu trouve f= (e(x) - e(-x))/2



  • Salut,

    3c)

    On vient de montrer que u(0) = 1 et que u' = u. Quelle fonction que tu as vue en cours possède ces propriétés ? C'est u(x) = exe^x car e0e^0 = 1 et (ex(e^x)' = exe^x.
    De la même façon, v(0) = 1 et v' = -v donc v(x) = exe^{-x} car e0e^{-0} = 1 et (ex(e^{-x})' = - exe^{-x}.



  • 3d) Calcule [ex[e^x - exe^{-x} ] / 2 = [u(x) - v(x)] / 2 = [f'(x) + f(x) - ......continue...

    4a) Le calcul des limites de f est facile... je rappelle que lim exe^x = 0 quand x -> -inf/ et lim exe^x = +inf/ quand x -> +inf/.

    Les autres questions sont des questions types...

    Pour la 5a), je précise qu'il faut juste dire que f est une bijection de - inf/ à + inf/ sur R. Le tableau de variations de f permettra de démontrer ça. Mais tu as déjà vu ça en cours donc tu devrais le savoir.


 

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