orthocentre, centre de gravité, centre du cercle circonscrit alignés : démonstration vectorielle

bonjour, je suis en classe de 1 ere S est j'ai un problème avec mon Dm de mathématiques j'espère que vous pourrez m'aider

j'ai fais la moitié de l'exercice mais je ne comprends plus a partir du 2) a)

je vous poste ici l'enoncé de l'exercice ainsi que le début de mes recherches:

ABC est un triangle. A', B' et C' sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
O est le centre du cercle circonscrit au triangle.

On note H le point défini par OH= OA + OB + OC (en vecteurs)
a. Faire une figure à la main ou avec un logiciel de géométrie.
b. Montrer que AH= 20A' (EN VECTEURS)
c. Démontrer que (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
d. Quelles autres relations peut-on écrire de même ?
e. Quelle propriété des trois hauteurs vient-on de démontrer ?
On note G un point tel que GA + GB + GC = 0 (en vecteurs)
a. Montrer que l'égalité GA + GB + GC = 0 (en vecteurs)est équivalente à AG= 2/3 AA' (en vecteurs)
b. En déduire de la même manière l'expression des vecteurs BG et CG.
c. Que peut-on en conclure sur le point G ?
a. Montrer que .
b. Qu'en déduit-on pour les points O, H et G ?

Voila ce que j'ai commencé a faire : (la figure je l'ai déjà faite sur ma feuille)

b) On sait que : OH = OA+OB+OC (en vecteurs bien sûr)

AH=AO+OH mais OH = OA+OB+OC

AH=AO+OA+OB+OC mais AO+OA=0 ( vecteur 0 !!)

AH=OB+OC--->(3)

OB=OA'+A'B-->(1)

OC=OA'+A'C-->(2)

On ajoute membre à membre (1) et (2)

OB+OC=OA'+A'B+OA'+A'C mais A'B+A'C=0 car A' milieu de [BC] donc :

OB+OC=2OA'

(3) devient :

AH=2OA'

c) On sait que O est est le centre du cercle circonscrit donc (OA') perpendiculaire (BC) car (OA') est médiatrice de [BC].

Comme : AH=2OA' alors ces 2 vecteurs sont colinéaires donc :

(AH)//(OA')

Si 2 droites sont // , toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Donc (AH) ppd (BC).

d)

On peut écrire de même que :

(BH) perpendiculaire (AC)

et

(CH) perpendiculaire (AB)

e)

Donc (AH) , (BH) et (CH) sont les 3 hauteurs de ABC et on a montré que :

Les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes.

merci d'avance pour votre aide

edit : merci de donner des titres significatifs*

ah desoler thierry… mais rien ne me venais a l'esprit et j'etais pris de panique

Bonsoir pbongrand,

Pour la question 2 a) applique la relation de Chasles
vect GA+ vect GB + vect GC =
vect GA + vect GA + vect AA' + vect A'B + vect GA + vect AA' + vect A'C
= ....

j'ai compris le raisonnement mais je ne tombe pas sur
vecteurAG = 2/3AA'

Indique tes calculs.

Desolé je m'étais absentais:

GA + GB + GC
= GA + GA + AA' + A'B + GA + AA' + A'C
= 3 GA + 2 AA' + A'B + A'C
= 2 GA' + GA + A'B + A'C
(tout est en vecteur)
Je n'arrives pas à aller plus loin … je te montre les autres calculs que j'ai fais pour BG et BC

Le début est juste.

GA + GB + GC
= GA + GA + AA' + A'B + GA + AA' + A'C
= 3 GA + 2 AA' + A'B + A'C

vect GA = - vect AG et
vesct A'B + vect A'C = 0, le point A' est le milieu du segment [AB]
d'ou
0 = - 3vect AG + 2 vect AA'
donc
....

donc on passe - 3vect AG de l'autre cote de l'équation ce qui donne :

3vect AG= 2 vect AA'
et on divise par 3 des deux cotes on a donc AG= 2/3 AA'

Oui c'est cela.

merci beaucoup, ah je sais ce que j'arrive pas a faire c'est trouver cette partie la
GA + GB + GC
= GA + GA + AA' + A'B + GA + AA' + A'C

pour BG et CG le reste je sais le faire
donc j'essaye de trouver ça pour BG meme si j'ai un peu de mal merci en tout cas vous restez connectée encore combien de temps environ ?

GB = GA + AB ,
puis AB = AA' + A'B.

moi j'ai trouver 2/3 a chaque fois c'est juste ? (je n'ai pas pris en compte ton dernier post car je n'ai pas pris l'ordinateur pour être plus concentrer donc il y a des chances pour que ça soit faux

Oui le coefficient est toujours 2/3.

Voici mon calcul pour GB

GB + GA + GC
= GB + GB+ BB' + B'A + GB + BB' + B'C
= 3 GB + 2 BB' + B'A + B'C

B'A + B'C = 0
Donc 3/3 GB = 2/3 B'B
ET GB= 2/3 B'B

Voici mon calcul pour GC

GA + GB + GC
= GC + C'C + CA + GC + C'C + CB + GC
= 3GC + 2C'C + CA + CB

CA + CB = 0

Donc 3/3 GC = 2/3 C'C
ET GC= 2/3 C'C

Oui ou BG = 2/3 BB'

ah oui j'ai pas changer l'ordre de GB ET GC bah a partir des deux donc il faut mettre BG et CG

Oui, c'est ce qui est demandé.

et donc on en conclut que G est le centre de gravite non ? parce que le coefficient est de 2/3

oui G est le centre de gravité.

et comment je peux le justifier ?

Le centre de gravité d'un triangle se trouve au 2/3 de la médiane.

ah okk merci beaucoup et enfin le 3) j'utilise chasles pour trouver que OH = 3 OG

Oui

en partant de OH = OA + OB + OC

C'est évident que OH = OA + OB + OC = 3 OG
Mais j'ai du mal a le prouver …

ce que je sais en revanche c'est que pour le b) comme les deux vecteurs sont colinéaires car il ont un facteur k en commun et bien les points seront donc alignes

bon je te souhaite bonne nuit car apparemment tu es aller te coucher , dans tout le cas je te dis merci beaucoup car tu m'auras beaucoup aidé

OH + OG + GA + OG + GB + OG +GB
et GA + GA + GC + 0
donc
.....

Bonne nuit.

J'obtiens
3 OG + OH + GA + 2 GB

ah j'ai compris mon erreur merci pour tout