Vecteurs avec a un nombre réel

Bonsoir à tous, je m'adresse à vous car je bloque sur une partie de mon DM, j'ai déjà bien avancé grâce à l'aide de quelqu'un mais j'ai encore besoin d'aide pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Voici l'énoncé:

Soient 3 points A, B et C non alignes et a un nombre reel. Les points P, Q et R sont definis ainsi: Vecteur AP= a2 ( au carre) Vecteur AB , Vecteur CQ = a Vecteur CA,
Vecteur CR= 2a Vecteur BC.

Si elles existent, trouver les valeurs de a pour lesquelles P, Q et R sont alignes.

Ce que j'ai fait grâce à de l'aide:

Les points P, Q et R sont alignés si et seulement si les vecteurs PQ et Pr sont colinéaires.
D'après la relation de Chasles:

PQ= PA + AQ
AQ= AC+ CQ = AC + a CA
PQ= -a² AB + AC ( 1 + a)

PR=PA+AB+BA+AC+CR=-a²AB+AC+2aBC=-a²AB+AC+2a(BA+AC)
=AB(-a²-2a)+AC(1+2a)

Et après je n'arrive pas à appliquer la colinéarité des points...

Bonsoir Mathafoo00,

Ecris vect PQ = k vect PR
puis écris les équations entre a et k à résoudre.

Mais on a pas l'abscisse et l'ordonnee des deux vecteurs... Je comprends pas trop...

Tu as : $pq⃗=−a2ab⃗+(1+a)ac⃗\vec{pq}=-a^2\vec{ab}+(1+a)\vec{ac}$
et $pr⃗=(−a2−2a)ab⃗+(1+2a)ac⃗\vec{pr}=(-a^2-2a)\vec{ab}+(1+2a)\vec{ac}$ .
Comme P, Q et R sont alignés, il existe un réel k tel que $pr⃗=kpq⃗\vec{pr}=k\vec{pq}$ .
Cela te donne : $(−a2−2a)ab⃗+(1+2a)ac⃗=k×[−a2ab⃗+(1+a)ac⃗](-a^2-2a)\vec{ab}+(1+2a)\vec{ac}=k\times[-a^2\vec{ab}+(1+a)\vec{ac}]$
soit en identifiant les coefficients devant $ab⃗\vec{ab}$ : $−a2−2a=k×(−a2)-a^2-2a=k\times(-a^2)$ <=> $k=−a2−2a−a2k=\frac{-a^2-2a}{-a^2}$ <=> $k=a+2ak=\frac{a+2}{a}$ .
ensuite tu identifies les coefficients devant $ac⃗\vec{ac}$ et en refaisant pareil tu obtiens : $k=1+2a1+ak=\frac{1+2a}{1+a}$ .
Comme tu as deux valeurs du même nombre k, tu n'as plus qu'à résoudre l'équation : $a+2a=1+2a1+a\frac{a+2}{a}=\frac{1+2a}{1+a}$ .
Tu as compris ?

Oui merci c'est bon

J'ai essaye de faire ça ce matin et j'ai finalement reussi
On a fait le corrige.