Etudier une fonction avec sinus cosinus

Bonsoir,

La fonction f est définie sur R par :

f(x)= sin² x + $3\sqrt{3}$ cosx

Cf est la courbe représentative dans un répère.

1.a. Démontrer que l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe Cf.
1.b. Démontrer que 2pi est une période de la fonction f.
2. Dans cette question, pour l'étude de f, on se limitera à l'intervalle I=[0;pi]
2.a. Vérifier que f'(x)=sinx(2cosx- $3\sqrt{3}$ )

2.b. Etudier les variations de f sur I.
2.C. Tracer c dans un repère.
2.d. Démontrer que pour tout x appartenant à [ $−pi4;pi4\frac{-pi}{4};\frac{pi}{4}$ ] on a 1,72 $≤\leq$ f(x) $≤\leq$ 1,75
3. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [2;2,1].

1.a et 1.b ok
2.a. Je ne suis pas sur de ma méthode pour la dérivée.
f'(x) = sin(x)²+ $3\sqrt{3}$ (cosx)
= 2(cosx)(sinx)+ $3\sqrt{3}$ (-sinx)
=sin(x)(2cosx- $3\sqrt{3}$ )

on ne dérive pas $3\sqrt{3}$ car c'est une constante, c'est cela?

2.b.
sinx=0
x=0 ou x=pi
sur[0;pi] sin(x) $≥\geq$ 0
Donc le signe de la dérivée est du signe de (2cosx- $3\sqrt{3}$ )

(2cosx- $3\sqrt{3}$ )
2cosx= $3\sqrt{3}$
cosx= $32\frac{\sqrt{3}}{2}$
x= $pi6\frac{pi}{6}$
ou x= $−pi6\frac{-pi}{6}$ Hors encadrement [0,pi] donc on n'en tient ps compte?

je cherches le signe de f'(x) sur [0; $pi6\frac{pi}{6}$ [ et ] $pi6\frac{pi}{6}$ ;pi]

Les encadrements:
Sur intervalle [0, $pi6\frac{pi}{6}$ [
je cherche
0 $≺\prec$ x $≤\leq$ $pi6\frac{pi}{6}$

et sur ] $pi6\frac{pi}{6}$ ;pi]
je cherche
$pi6\frac{pi}{6}$ $≤\leq$ x $≤\leq$ pi ???

Suis je sur la bonne voie???

Merci

Bonsoir arone,

le début est correct.
Sur [0;π/6[, 2cosx - √3 ≥0
Sur ....

Bonjour,

Est ce que je peux trouver en procédant ainsi:
0 $≤\leq$ x $≤\leq$ $pi6\frac{pi}{6}$
0 $≤\leq$ cosx $≤\leq$ cos $pi6\frac{pi}{6}$
0 $≤\leq$ 2cosx $≤\leq$ 2cos $pi6\frac{pi}{6}$
etc?

Merci

Non,

Il faut tenir compte des variations de la fonction sur l'intervalle,
ici la fonction est décroissante, donc
....

"Sur [0;π/6[, 2cosx - √3 ≥0"
j'ai déjà besoin d'une explication!
2cosx - √3 ≥0 (car cosx $≥\geq$ $32\frac{\sqrt{3}}{2}$ ???)
Donc la fonction est décroissante (car le cosinus décroit sur l'intervalle[0;pi/6[?)

Merci

Sur l'intervalle [0;π/2], la fonction cos x est décroissante,
donc
0≤x≤π/6 donne
cos0 ≥ cosx ≥cosπ/6
...

Bonjour

Sur l'intervalle [0;π/2], la fonction cos x est décroissante,
Donc
0 $≤\leq$ x $≤\leq$ $pi6\frac{pi}{6}$ donne
cos0 $≥\geq$ cosx $≥\geq$ cos $pi6\frac{pi}{6}$
1 $≥\geq$ cosx $≥\geq$ $32\frac{\sqrt{3}}{2}$
2 $≥\geq$ 2cosx $≥\geq$ 2 $32\frac{\sqrt{3}}{2}$
2 $≥\geq$ 2cosx $≥\geq$ $3\sqrt{3}$
2- $3\sqrt{3}$ $≥\geq$ 2cosx- $3\sqrt{3}$ $≥\geq$ 0
Donc 2cosx- $3\sqrt{3}$ $≥\geq$ 0 et la fonction est décroissante?

Merci

Les variations dépendent du signe de sinx.
Etude sur [0;π]

Bonjour

"Les variations dépendent du signe de sinx."
Je ne suis pas sure de comprendre ce que vous voulez dire.
Il faut peut être que je rajoute une ligne:
Donc sinx (2cosx- $3\sqrt{3}$ ) $≥\geq$ 0 et la fonction est croissante? (et non décroissante, une erreur de ma part!)

ensuite je fais la même chose sur l'intervalle [ $pi6\frac{pi}{6}$ ;pi]

Sur l'intervalle [0;π], la fonction cos x est décroissante, Donc
$pi6\frac{pi}{6}$ $≤\leq$ x $≤\leq$ pi
$pi6\frac{pi}{6}$ cosx $≥\geq$ cosx $≥\geq$ cospi
$32\frac{\sqrt{3}}{2}$ $≥\geq$ cosx $≥\geq$ -1
$3\sqrt{3}$ $≥\geq$ 2cosx $≥\geq$ -2
0 $≥\geq$ 2cosx- $3\sqrt{3}$ $≥\geq$ 2 $3\sqrt{3}$
Donc sinx (2cosx- $3)\sqrt{3})$ $≤\leq$ 0 donc la fonction est décroissante

Est ce que la formulation est correcte?

Merci

Pour étudier le signe de f'(x)=sinx(2cosx-√3) sur l'intervalle [0;π]
Si on considère que c'est le signe d'un produit.
On étudie le signe de 2 cos x - √3
cos x =√3/2 si x = π/6
si 0 < x < π/6, 2cos x - √3 > 0 et
si π > x > π/6, 2cos x - √3 < 0
et le signe de sinx qui sur [0;π] est positif

donc
f est croissante sur ....
et décroissante sur ....

Bonjour

Donc f est croissante sur [0; $π6\frac{\pi }{6}$ [ et décroissante su ] $π6\frac{\pi }{6}$ ;pi] .
J'ai une question: pourquoi mettre strictement (<,>) et pas strictement ou égale ( $≤≥\leq \geq$ ) dans votre précédente explication?

Merci

Tu peux utiliser l'un ou l'autre.

Bonsoir

J'ai oublié de terminer l'exercice!

sur l'intervalle [2;2,1] f est continue et strictement décroissante. 0 appartient à l'intervalle [2;2,1] donc d'après le TVI, l'équation f(x)=0 admet une solution unique sur [2;2,1], alpha=2,04.

2.d. Je ne sais pas comment le démontrer!

Merci

tu utilises les variations de la fonction ou le tableau de variation.

Effectivement.

Merci