Etudier une fonction polynôme du second degré

Bonjour, voila la fin d'un exo que je n'arrive pas à finir, pouvez vous m'aidez ?

soit p la fonction définie sur R par p(x)=4x²+8x et C sa courbe représentative
pour tout réel k, on appelle Dk la droit d’équation : 4kx-y+8k=0
Par exemple, pour D2 la droite d’équation est 8x-y+16

Etude du cas général
a) justifier que le nmbre de point d'intersection entre C et DK dépend du signe de f(k)=k²+4k+4
b) étudier le signe de f(k) (je l'ai fait avec un tableau de signe)
c)en déduire le nombre de points d'intersections entre C et Dk suivant les valeurs de k

merci d'avance pour vos réponses

Bonjour,

Piste ,

Les coordonnéees des points d'intersection sont les solutions du système:

$\left{y=4x^2+8x\y=4kx+8k\right$

L'équation aux abscisses est donc :

$4x^2+8x=4kx+8k$

Tu peux tout diviser par 4

Tu transposes et tu obtiens l'équation du second degré d'inconnue x :

$x^2+(2-k)x-2k=0$

Il te reste à calculer le discriminant Δ qui sera f(k)

Merci pour ton aide
j'ai calculé le discriminant Δ :
Δ= b²-4ac
=(2-k)²-4x1x(-2)
=2²-2x2xk+k²+8
=4-4k+k²+8
=k²-4k+12
c'est différent de f(k)
peux tu me situer mon erreur ?

je viens de trouver mon erreur j'ai fait *-2 au lieu de *-2k donc cela fais bien f(k) merci pour ton aide !

pour la a) j'ai fait delta avec le tableau de signe et j'ai trouvé que cela dépendait du signe car si f vaut 0 il y a un point d'intersection et si f>0 alors il y a deux point d'intersection
est ce que c'est bon ?

Ton idée est bonne mais il conclure en fonction de k

J'espère que tu as pensé à l'identité remarquable :

$f(k)=(k+2)^2$

Cherche pour quelle valeur de k on a f(k)=0 et pour quelles valeurs de k on a f(k)>0

Merci je vais retravaillé dessus et si j'ai un problème je referai appel a ton aide mais sa devrait être bon !
bonne soirée et bon dimanche

D'accord .

Bon DM et bonne soirée.