Vérifier une équation différentielle

Bonjour,
je n'arrive pas à vérifier l'équation différentielle suivante et de déterminer les fonctions a(x) et b(x):
On a (x²+1)y'(x)-2y(x)=-2√y(x)=-2√y(x)
et y(0)= alpha
on pose z(x)=√y(x)
et il faut vérifier que z'(x)+a(x)z(x)+b(x)=0 et ainsi déterminer a(x) et b(x)
j'ai essayé de partir de la 1ere équation en calculant
y(x)=z²(x) donc y'(x)= 2z'(x)
en remplacant ca me donne aucun résultat
alors j'ai tenter de partir de la 2eme équation z(x)=√y(x) donc z'(x)= y'(x)/2√y(x) sans succès
Merci

Bonsoir mathos92340

si y = z², y' = 2zz' et non 2z'

Ah oui c'est vrai..
et pour la question suivante on me demande d'expliciter l'unique solution ∅' ∈ Classe 1 (R) du probleme suivant
∅'(x)+a(x)∅(x)+b(x)=0 x∈R
∅(0)=√alpha

il faut juste dire que la solution est de la forme √y(x)
ou non que la solution particuliere est de la forme √y(x) et il faut calculer la solution homogène avec y'(x)=0? si c'est dans ce cas il y a un probleme dans le calcul..

Il faut déterminer ∅(x) en fonction de x.
Indique tes calculs.

pour la calcul précédent j'ai trouver a(x)= -1/(x²+1) et b(x)=1/(x²+1)
donc ∅(x)=-(∅'(x)-b(x))/a(x)
∅'(x)=0
donc ∅(x)= b(x)/a(x)
∅(x)= -1
c'est cela ?

Pourquoi ∅'(x)=0
résous l'équation différentielle.

Pourquoi ∅'(x)=0
résous l'équation différentielle.

Okay j'ai vraiment du mal avec les équation différentielle
donc il faut calculer une solution particulière et une solution générale
la solution générale est:
z'(x)-1/(x²+1)z(x)= 0
y(x)= Aexp(∫1/(x²+1)dx)= Aexp(arctan x)
vu que y(0)=alpha
Aexp(arctan0)= Aexp(0) =A
donc A= 0
je me suis donc trompée quelque part

Si y(0) = alpha, cela implique A = alpha.

Ah oui autant pour moi
et après pour calculer la solution particulière je dois faire comment ?

Pose z = constante.

donc on trouve pour solution particulière
yp(x)=-x²-1²

donc la solution totale c'est
y(x)= alpha*exp(arctan x)-x²-1
c'est bien cela ?

Comment as tu trouvé -x² - 1 ?
Si z = cte, z' = 0
....

Oui si z'(x)= 0
alors z(x) = -x² - 1
et c'est la solution particulière non ?

si z(x) = -x²-1,
z'(x) = -2x !!

-1/(x²+1)z(x)+1/(x²+1)=0
donc z(x)=1
donc yp(x)= 1
solution totale: y(x)= alpha exp(arctan x)+1

C'est l'expression z(x) que tu as déterminée.

oui c'est z(x) l'unique solution ?

Tu as trouvé z(x) il faut déduire y(x);

donc y(x) = √(alpha exp(arctan x)+1 )

C'est correct

D'accord merci
Pour la question suivante on nous demande d'étudier le signe de ∅ et de montrer qu'il existe alpha0 > 0 tel que si alpha > alpha0 alors ∅ ne s'annule pas sur R et que si alpha < alpha 0 alors ∅ peut s'annuler.
donc a partir de y(x) = √(alpha exp(arctan x)+1 ) je calcule y'(x) je fais un tableau de signe et je regarde pour quel alpha y(x) s'annule
c'est bien comme ca qu'il faut que je continue ?

Attention, tu indiques ∅, donc c'est z que tu étudies.

ah d'accord donc j'étudie z(x)= alpha exp(arctan x)+1
je calcul la dérivée et je regarde pour quelle valeur z s'annule