Suite récurrente

Données: (Un) est définie sur N* , Un+1=√(5Un-4) et U1=8

a) Rédiger un algorithme en langage naturel pour calculer les termes de la suite. FAIT
b) Appliquer cet algorithme et conjecturer la monotonie et la limite. FAIT
c) Démontrer par récurrence que Un≥4 pour tout n ∈ N*. FAIT
d) Démontrer que la suite est décroissante de deux façons différentes.
e) Montrer que la suite est convergente. Calculer sa limite l.
f) Modifier l'algo de telle manière que pour tout n donné (pas trop grand), il affiche à partir de quel rang Un -4≤10^-n, cad à partir de quel rang les termes snt proches de 4 à 10^-n près.
g) Appliquer cet algorithme pour déterminer le plus petit entier n à partir duquel Un -4≤10^-7

J'en suis à la question d j'ai réussi une première façon grâce à la récurrence en montrant que Un+1≤Un. Mais pour la deuxième façon je ne vois pas comment faire ..
Merci d'avance pour une piste.

BONJOUR,

pour d) Un grand classique : étude du signe de $U_{n+1}$ - $U_n$

pas forcément évident ici

Salut

Pour d) l'autre façons peut-être:

Puisque $u_n \geq 4> 0$, tu compares $un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1

ou peut être penser à une fonction genre

$\sqrt{5x-4}$ et voir si elle décroissante sur $+\infty[$

Bonjour,

Attention : le sens de variation de la fonction f définie par $f(x)=5x−4f(x)=\sqrt{5x-4}$ , ne donne pas le sens de variation de la suite $U_n$ ) .

Salut,

J'ai dit une fonction du genre alors faut trouver une fonction qui fait l'affaire sinon je considère 2 solutions pour la monotonie de $u_n$

Soit voir le signe de $u_{n+1}-u_n$
Soit comparer $un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 puisque $u_n > 0$

Bonjour,

Pour le sens de variation de $u_n$ ), le raisonnement par récurrence est à mon avis la méthode la plus simple.

Sinon comme $u_n$ est toujours strictement positif, comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ revient à comparer $u_{n+1}$ ² et $u_n$ ², ce qui revient à étudier le signe d'un polynôme du second degré.