DM limite et logarithme népérien

[Shizangen]

Bonjour j'ai un devoir maison à éffectuer et j'aimerais un pe u d'aide:

Partie A

On se propose d'étudier la fonction f définie sur l'intérvalle ]0,+∞[ par:

1. On définit la fonction g sur l'intervalle ]1;+∞[ par:

a) Quelle est la limite de g en 1 ?

b) Calculer g'(x) pour x appartenant à l'intervalle ]1;+∞[
c) Résoudre dans l'intervalle ]1;+∞[ l'inéquation:

d) Etudier le sens de variation de g sur l'intervalle ]1;+∞[.
e) Démontrer que l'équation g(x) = 0 a une solution unique, notée α, dans l'intervalle [e+1;e³+1] et étudier le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]1;α[ et]α;+∞[.

2. φ est la fonction définie sur l'intervalle ]1;+∞[ par:

d) Etudier le sens de variation de g sur l'intervalle ]1;+∞[.
e) Démontrer que l'équation g(x) = 0 a une solution unique, notée α, dans l'intervalle [e+1;e³+1] et étudier le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]1;α[ et]α;+∞[.

2. φ est la fonction définie sur l'intervalle ]1;+∞[ par:

a) Etudier la limite de la fonction φ en 1;
On admet que φ admet pour limite 0 en +∞.
b) Déterminer φ' (x)
Démontrer que φ' (x) est du signe de g(x²) sur l'intervalle ]1;+∞[.
c) Démontrer que φ est croissante sur l'intervalle ]1;√α[ et décroissante sur l'intervalle ]√α;+∞[

Partie B

1. Vérifier que pour tout x de 'lintervalle ]0;+∞[ :

2. En déduire:
   a) la limite de f en 0;
   b) la limite de f en +∞
   c) le sens de variation de f sur l'intervalle ]0;+∞[ et que f admet un maximum en ln(√α).
3. Montrer que pour tout x de l'intervalle ]0;+∞[ :

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les arrondis au centième.

5. Représenter graphiquement f dans un repère orthopgonal, d'unité 5 cm en abscisses et 10 cmen ordonnées. On prendra 10 comme valeur approchée de α.

Réponses:

a) g(1) = 2 -0Ln(0)
g(1) → 2

[mtschoon]

Bonjour,

Fais attention ! ln0 n'existe pas !

Condition d'existence de g : x-1 > 0 <=> x > 1

$dg=]1,+\infty [$

Lorsque x tend vers $1^{+}$ , (x-1) tend vers $0^{+}$

Tu dois savoir que ${\lim }_{x\to 0^{+}}xlnx=0$

Donc : ${\lim }_{x\to 1^{+}}(x-1)ln(x-1)=0$

Donc : ${\lim }_{x\to 1^{+}}g(x)=....$

[Shizangen]

[mtschoon]

non...

[Shizangen]

b.

A partir de la 3 ème ligne j'ai essayé d'appliquer la dérivé d'un produit pour (x-1)Ln(x-1)

[mtschoon]

Essaie de comprendre la limite en 1 : c'est tout simple.

${\lim }_{x\to 1^{+}}(x-1)ln(x-1)=0$

Il reste à trouver la limite de 2x , lorsque x tend vers 1 .

Lorsque x tend vers 1, 2x tend vers ...

donc

${\lim }_{x\to 1^{+}}g(x)=....-0=...$

2. Fais attention car il y a une différence.

$g^{\prime }(x)=2-[(x-1)ln(x-1){]}^{\prime }$

En prenant la dérivée du produit que tu as faite , après simplification ; tu dois trouver

$g^{\prime }(x)=1-ln(x-1)$