Exercice intégrales
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BBaB² dernière édition par
Bonjour !
Je suis actuellement bloqué sur un exo bonus d'un DM sur les intégrales...
Le voici :Soit k>0 un réel fixé. Déterminer les fonctions continues f : ℜ+→ℜ telles que la fonction F définie sur ℜ+ par :
f(x)=∫xkxf(t)dtf(x)=\int_{x}^{kx}{f(t)dt}f(x)=∫xkxf(t)dt soit constante.
J'ai un peu réfléchis dessus, voici ce que j'ai fais (c'est sans doute un peu faux...) :
Soit G dérivable sur ℜ+, une primitive de f.
On a :
f(x)=∫xkxf(t)dt=[g(t)]xkx=g(kx)−g(x)f(x)=\int_{x}^{kx}{f(t)dt} = \left[g(t) \right]_{x}^{kx} = g(kx)-g(x)f(x)=∫xkxf(t)dt=[g(t)]xkx=g(kx)−g(x)
Or, la fonction F est constante, donc : ∃c∈ℜ, F(x)=c
⇒ F'(x)=0
⇔(G(kx)-G(x))'=0
⇔kG'(kx)=G'(x)
⇔kf(kx)=f(x) (car G primitive de f)Voilà, après je sais plus trop quoi faire...
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Ton énoncé me laisse perplexe.
"les fonctions continues f de R+ vers R " ? il ne doit pas y en avoir beaucoup...Quelques réflexions.
$f(0)=\bigint_0^{k0}f(t)dt=\bigint_0^{0}f(t)dt=0$
Vu que F doit êtreconstante sur R+ , nécessairement F est la fonction identiquement nulle sur R+
∀x∈[0,+∞[ f(x)=0\forall x \in [0,+\infty[\ f(x)=0∀x∈[0,+∞[ f(x)=0
Tu peux déjà déduire quela fonction f identiquement nulle sur R+ convient :
∀x∈[0,+∞[ f(x)=0\forall x \in [0,+\infty[\ f(x)=0∀x∈[0,+∞[ f(x)=0
La question est de savoir s'il y a d'autres fonctions f satisfaisantes.
La propriétéf(x)=kf(kx) que tu as trouvé me parait très intéressante.
Déjà, pour x=0, elle devient : f(0)=0f(k0), donc f(0)=0
Tu peux généraliser cette propriété
f(kx)=kf(kkx)=kf(k²x) donc f(x)=kkf(k²x)=k²f(k²x)
Par récurrence, pour n ≥ 1, tu peux prouver que
f(x)=knf(knx)f(x)=k^nf(k^nx)f(x)=knf(knx)
En fixant x, et en faisant tendre n vers +∞, suivant k( fais attention), tu dois pouvoir trouver l'expression de f(x)
Bonne recherche.