Orthogonalité en utilisant le produit scalaire

Salut,
Pouvez-vous m'aider pour mon exercices svp?

ABC un triangle rectangle et isocèle en A
Le cercle de centre A et rayon r(0<r<AB) coupe les segments [AB] et [AC] respectivement en K et en L
Soit I le milieu de [GK]
Démontrer que (AI) et (LB) sont perpendiculaires

Merci pour vos réponses

Bonjour,

Tu as écrit
Citation
Soit I le milieu de [GK]

Où donc est G? ? ?

Quand tu as besoin d'aide, fais attention lorsque tu écris tes énoncés...

I est le milieu de [CK]

et voici la figure de l'exercicefichier math

pistes,

$lb⃗=la⃗+ab⃗=−12ac⃗+ab⃗\vec{lb}=\vec{la}+\vec{ab}=-\frac{1}{2}\vec{ac}+\vec{ab}$

I étant le milieu de [KC]

$ai⃗=12(ak⃗+ac⃗)\vec{ai}=\frac{1}{2}(\vec{ak}+\vec{ac})$

( su tu ne connais pas cette propriété, tu la prouves avec la relation de Chasles)

Donc :

$ai⃗=12(12ab⃗+ac⃗)=14ab⃗+12ac⃗\vec{ai}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{ab}+\vec{ac})=\frac{1}{4}\vec{ab}+\frac{1}{2}\vec{ac}$

$lb⃗.ai⃗=................=0\vec{lb}.\vec{ai}=................=0$

d'où le réponse.

merci

c juste pour savoir si c'est bOn

j'ai mis que LB.AI=(-1/2AC+AB).(1/4AB+1/2AC)
=-1/2AC×1/2AC+AB×1/4AB
=-1/4AC+1/4AB=0

En distribuant, tu dois avoir 4 produits ; je n'en vois que 2 et en plus, il devrait y avoir de carrés qui n'y sont pas.

Tu dois refaire.

Tu pourrais m'expliquer comment on fait pour LB.AI stp

et aussi pour LB car quand je vérifie je trouve LB=AB-1/2AC

Merci d'avance

Pour $lb⃗\vec{lb}$ ton résultat est bon, c'est celui que je t'ai donné. L'addition vectorielle est commutative.

$ai⃗.lb⃗=(14ab⃗+12ac⃗).(−12ac⃗+ab⃗)\vec{ai}.\vec{lb}=(\frac{1}{4}\vec{ab}+\frac{1}{2}\vec{ac}).(-\frac{1}{2}\vec{ac}+\vec{ab})$

Tu distribues :

$ai⃗.lb⃗=−18ab⃗.ac⃗+14ab⃗.ab⃗−14ac⃗.ac⃗+12ac⃗.ab⃗\vec{ai}.\vec{lb}=-\frac{1}{8}\vec{ab}.\vec{ac}+\frac {1}{4}\vec{ab}.\vec{ab}-\frac{1}{4}\vec{ac}.\vec{ac}+\frac{1}{2}\vec{ac}.\vec{ab}$

Tu transformes, tu simplifies et tu dois trouver 0

donc AI.LB=(1/4AB+1/2AC).(-1/2AC+AB)
=-1/8AB.AC+1/4AB.AB-1/4AC.AC+1/2AC.AB
=-1/8AB.AC+1/4AB²-1/4AC²+1/2AC.AB
=-1/8AB.AC+1/2AC.AB
=-1/4AB²+1/2²AC²
=-1/4AB²+1/4AC²
=0

est-ce bon?

OK pour les 3 premières lignes

Ensuite, ce n'est pas faux mais ce n'est pas logique; je ne suis pas sûre que tu comprennes.

Comment passes-tu de la 3ème ligne à la 4ème ligne? puis de la 4ème à la 5ème ?
Je me pose la question...

Je détaille :

Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires donc $ab⃗.ac⃗=ac⃗.ab⃗=0\vec{ab}.\vec{ac}=\vec{ac}.\vec{ab}=0$

De plus, les segments [AB] et [AC] ont même longueur
AB=AC => AB²=AC² donc
$ab⃗2=ac⃗2\vec{ab}^2=\vec{ac}^2$

Tu peux en déduire que la somme des quatre termes est nulle

AI.LB=(1/4AB+1/2AC).(-1/2AC+AB)
=-1/8AB.AC+1/4AB.AB-1/4AC.AC+1/2AC.AB
=-1/8AB.AC+1/4AB²-1/4AC²+1/2AC.AB
=-1/8AB.AC+1/2AC.AB
=-AB.AC+AC.AB
=-AB²+AC²
=0

Est-ce bon?

Dur, dur..

$ai⃗.lb⃗=−18ab⃗.ac⃗+14(ab⃗2−ac⃗2)+12ac⃗.ab⃗\vec{ai}.\vec{lb}=-\frac{1}{8}\vec{ab}.\vec{ac}+\frac {1}{4}(\vec{ab}^2-\vec{ac}^2)+\frac{1}{2}\vec{ac}.\vec{ab}$

En utilisant les explications que je t'ai données dans ma précédente réponse ( et que tu dois indiquer dans ton DM ), tu obtiens ainsi:

$ai⃗.lb⃗=−18(0)+14(0)+12(0)=0\vec{ai}.\vec{lb}=-\frac{1}{8}(0)+\frac {1}{4}(0)+\frac{1}{2}(0)=0$

Je te conseille vivement de revoir ton cours et de refaire cet exercice seul, car tu maîtrises mal le produit scalaire.

Bon travail.

Franchement merci

De rien ( et revois bien tout ça ) !