Dérivation-étude de fonction

Bonjour a tous chére internaute , je fait appelle à vous car je ne me retrouve dans un devoir maison que j'ai à rendre pour Lundi. J'ai tous tenté , toutes manipulation , j'ai vérifié à la calculatrice mais rien ne semble cohérent , je vous remercie d'avance pour votre aide , voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur R par f(x)= x²+5x+5 / x²+x+1.

Dresser le tableau de variation de la fonction f et préciser les éventuels extremums locaux.( Moi en dérivant la fonction j’obtiens f'(x)= -2x²+2x+10 / (x²+x+1)² , donc les racines seraient -1.8 et 2.8 , bizarrement je ne trouve pas ça cohérent du tout )
Montrer que pour tout x ∈ ]-4;-1[, f(x) ≥ -1/3 ( je ne comprends pas d’où vient le 1/3 et je n'arrive pas à me repérer par rapport au tableau de variation)
Montrer que pour tout x ∈ [-1;0], 1 ≤ f(x) ≤ 5 ( Pareillement à la question 2 , je n'y arrive pas )
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -.

Merci encore ,d'avance à vous.

Bonsoir,

Je suppose que la fonction est bien :

$f(x)=x2+5x+5x2+x+1f(x)=\frac{x^2+5x+5}{x^2+x+1}$

Est-ce bien cela ?

Je suppose que tu as trouvé que f était définie sur R (pas de valeurs interdites)

Je te suggère de recompter la dérivée.

Tu dois trouver

$f′(x)=−4x2−8x(x2+x+1)2=−4x(x+2)(x2+x+1)2f'(x)=\frac{-4x^2-8x}{(x^2+x+1)^2}=\frac{-4x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}$

D'accord mais la fonction est bien du type U/V ? Et lorsque que je multiplie VU'-V'U/ / V² , je n'arrive pas obtenir ce que tu as obtenue.

Pose

$u(x)=x^2+5x+5 \ u'(x)=2x+5 \ v(x)=x^2+x+1 \ v'(x)=2x+1$

et recompte.

Rassure toi c'est ce que j'ai fait , mais voici mon raisonnement :

f'(x) = 2x+5 ( x²+x+1) - 2x+1 ( x²+5x+5)/ (x²+x+1)²

= 2x³+2x²+2x+5x²+5x+5 -2x³-10x²-10x+x²+5x+5 / (x²+x+1) ²
= -2x²+2+10 / (x²+x+1)²
Je comprends pas ton raisonnement du coup

Ton raisonnement est juste mais je suppose que tu as des erreurs de signe dues aux parenthèses manquantes.

Vérifie.

f'(x) = [(2x+5) ( x²+x+1) - (2x+1) ( x²+5x+5)]/ (x²+x+1)²

Merci beaucoup ! Je viens à l'instant de trouver , par contre pour la question 2 , l'encadrement je ne comprend toujours pas , merci d'avance pour tes conseils .

Pour la 2), tu as écrit :

Citation
Montrer que pour tout x ∈ ]-4;-1[, f(x) ≥ -1/3

Est-ce vraiment -1/3, car ensuite, tu parles de 1/3 ?

Ah excuse moi , c'est - 1/3 .

Tu dois donc résoudre : f(x) ≥ -1/3

Si tu as fait le tableau de variation ( avec les limites à +∞ et à -∞ ) , tu dois constater que pour tout x réel : f(x) ≥ -1/3 :
-1/3 est le minimum de la fonction, obtenu pour x=-2

Je trouve ta question bizarre car l'inéquation n'est pas vraie seulement pour tout x de ]-4;-1[; elle est vraie pour tout x de R.

C'est pour cela que j'avais un doute sur ce -1/3 ...

Vérifie ton énoncé( vérifie si l'expression de f(x) est bien la bonne et s'il s'agit bien de f(x) ≥ -1/3 )

En fait au départ l'énoncer était : Montrer que ... f(x) ≤ -1/3 ,et le prof a justement rectifier cela en ≥ -1/3, alors peut etre qu'il se serait tromper encore , mais dans ce cas la ça changerais quoi ?

Si l'expression de f(x) que tu as donnée est bonne, tu dois voir, avec ton tableau de variation, que -1/3 le le minimum de le fonction f avec f(-2)=-1/3

l'inéquation f(x) ≥ -1/3 est vraie pour tout x de R

l'inéquation f(x) ≤ -1/3 est vraie seulement pour x =-2

Cela n'explique pas l'intervalle indiqué ]-4;-1[...

Evidemment , l'inéquation f(x) ≥ -1/3 étant vraie pour tout x de R , elle est vraie pour tout x de ]-4,-1[, mais à quoi bon mettre cet intervalle ?

Il me semble que quelque chose ne va pas dans l'énoncé que tu nous as donné.

J'ai relus mon énoncé et je ne trouve pas d'erreur?
Donc on justifie que f(x)≥ -1/3 avec le tableau de variation c'est tout ?

Donc je ferais pareil pour la question 3 alors ?

Pour la question 4 , pourrais tu me dire si tu trouve y= 4x +5 pour l'équation de la tangente. Merci à toi.

Pour la 3), l'intervalle est encore bizarre...il faut s'y faire...

Si ton tableau de variation est exact, tu as dû trouver que le maximum de la fonction est de 5 (obtenu pour x=0)

Donc, pour tout x de R , f(x)≤5 (rien de plus à faire pour cela)

Il te reste à cherche les valeurs de x telles que f(x) ≥ 1

Tu dois résoudre cette inéquation, en remplaçant f(x) par son expression.

Pour la 4), je lis:
Citation
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse -
Donne l'abscisse correctement...

Au point d'abscisse -1

L'équation de la tangente (y=4x+5) est bonne.

D'accord merci mais pour la 3) lorsque je résous f(x) ≥ 1 , je dois alors faire son tableau de signe n'est-ce pas ?

Ou alors je mets le 1 de l'autre coté ?

Tu fais comme tu veux. Fais des essais.

Le plus simple, peut-être :

Tu dois résoudre,

$x2+5x+5x2+x+1≥1\frac{x^2+5x+5}{x^2+x+1}\ge 1$

Tu justifies que pour tout x réel : x²+x+1 > 0

L'inéquation équivaut donc à :

$x2+5x+5≥x2+x+1x^2+5x+5 \ge x^2+x+1$

Tu continues.

Merci beaucoup

Pour la méthode calculatoire je sais comment faire , mais je ne comprends pas pourquoi tu conclus que :

x² +5x +5 ≥ x² +x+ 1

J'espère que tu as trouvé x ≥ -1

Encore une fois, cela est valable sur [-1,+∞[ , donc en particulier sur [-1,0]

Une réflexion :

Dans cet exercice, les intervalles donnés ne servent guère, si l'étude des variations est faite sur ]-∞,+∞[ avec les limites trouvées ( qui valent 1)...Ce n'est pas indiqué dans l'énoncé.

Tu n'as peut-être pas vu les limites et tu ne sais pas calculer les limites en +∞ et -∞ ? Je l'ignore.
En mettant des intervalles avec des valeurs finis, le problème de limite ne se pose pas.
C'est peut-être pour cela que l'on te donne des intervalles "bizarres"...

Désolée, nos réponses se sont croisées.

Tu multiplies chaque membre de l'inéquation de départ par (x²+x+1) qui est strictement positif ( donc tu ne changes pas le sens de l'inéquation).

Et a la fin de cette inéquation je trouve x ≥ -1 ?

oui.

C'est pas grave , et oui rassure toi je sais calculé des limites , mais je ne penses pas que se soit le but de cette exercice. En tous cas , merci pour tout !

De rien.

Bon DM !