Dérivation de fonction-encadrement

Re bonjour chère internaute , je fais appelle encore a vous car dans mon devoir maison j'ai un exercice type ou il est écrit : Pour cet exercice , tout trace de recherche sera prise en compte dans l’évaluation. La qualité de la rédaction , des justifications sera importante dans l’évaluation ) , je vous remercie d’avance pour vos conseils , voici l'énoncé :

Montrer que pour tout x∈ [-5;5]; 7-√2 / 2 ≤ 3 + 1-x/x²+1 ≤ 7+√2 / 2

Merci encore d'avance à vous.

Bonjour,

S'il te plait, mets suffisamment de parenthèses pour que l'on comprenne (ou mieux, utilise le latex)

Désole , la voici mieux écrite :

Montrer que pour tout x∈ [-5;5]

(7-√2) / 2 ≤ 3 + (1-x) / (x²+1) ≤ (7+√2) / 2
Merci à vous.

Pour faire plus simple, tu peux peut-être commencer à retrancher 3 à chaque membre.

L'inéquation proposée équivaut à :

$1−22≤1−xx2+1≤1+22\frac{1-\sqrt 2}{2}\le \frac{1-x}{x^2+1}\le \frac{1+\sqrt 2}{2}$

Vu que tu sembles être dans le chapitre relatif à l'étude des fonctions, tu peux étudier la fonction f :

$f(x)=1−xx2+1f(x)=\frac{1-x}{x^2+1}$

Vu la question, tu peux faire le tableau de variation sur [-5,5] pour t'éviter de chercher les limites à +∞ et -∞ ( sinon, l'intervalle donné ne servirait encore à rien...)

D'accord. J'ai dérivé la fonction et je trouve x² -2x- 1 , est-ce bon ?
Puis quand je fait le tableau de signe j’obtiens -2.4 et 0.4 comme solutions , ensuite j'ai fais les variations de f mais comment faire pour arriver à démontrer ce qu'il faut démontrer (ce que l'exercice demande) ?

$f′(x)=x2−2x−1(x2+1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)^2}$

Pour les valeurs qui annulent la dérivée, prends les valeurs exactes (non approchées)

Lorsque tu auras fait soigneusement le tableau de variations de f sur [-5,5], tu devras comparer le maximum et le minimum de la fonction avec les valeurs de l'encadrement à prouver.

Je comprends pas ton raisonnement pour la dérivée , voici le mien :

f'(x) = -1(x²+1) - (2x (1-x))

= -x²-1- (2x-2x²)

= -x²-2x+2x²

Tu utilises la dérivée de u/v : (u'v-v'u) / v²

$u(x)=1-x \ u'(x)=-1 \ v(x)=x^2+1 \ v'(x)=2x$

$f′(x)=(−1)(x2+1)−2x(1−x)(x2+1)2=...=x2−2x−1(x2+1)2f'(x)=\frac{(-1)(x^2+1)-2x(1-x)}{(x^2+1)^2}=...=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)^2}$

Les valeurs de x j'ai trouvé : -2-√8/2 et -2+√8/2 , et pour le maximum et le minimum je trouve 1/2 pour les deux , c'est bizarre. Imaginons que j'ai bon comment je fais pour les comparer ?

Fais attention aux signes et simplifie

Ces deux valeurs sont (après simplifications) : $-\sqrt 2$ et $1+21+\sqrt 2$

Ensuite , après calculs ( à faire tranquillement et sans erreur !) , tu dois trouver :

$-\sqrt 2)=\frac{1+\sqrt 2}{2} \ f(1 +\sqrt 2)=\frac{1-\sqrt 2}{2}$

Si tu arrives à trouver ces valeurs et si ton tableau de variation est bon, la conclusion est immédiate.

Maintenant, c'est à toi de compter.

Merci beaucoup pour tout !

De rien.

Bon courage pour les calculs.