Maximum et minimum

Bonjour!

Je voudrais savoir si vous auriez une explication claire pour démontrer qu'une fonction admet soit un minimum, soit un maximum ou bien les deux.

En effet, même si on me donne un énoncé dans lequel on doit justement montrer qu'une fonction admet un maximum par exemple (ce maximum est donné), je ne vois pas comment on doit faire.

Voilà l'énoncé : f(x) = x²+1 définie sur l'intervalle [-3;3]. Montrer que f admet 10 comme maximum.

J'ai donc commencé par faire : f admet 10 comme maximum alors pour tout nombre réel x, on a f(x)≤10 d'où f(x) - 10≤0.
Je résous ensuite le calcul : f(x) - 10 = x²+1-10 = x²-9 = (x-3)(x+3)
Je fais ensuite un tableau de signe et j'obtiens que f(x) - 10≤0.
Voilà, je veux bien mais je ne vois pas en quoi on a démontré que 10 était le maximum.

Merci d'avance pour vos réponses!

Bonjour Kai22,

Tu as cherché le signe de f(x) -10
tu trouves f(x) - 10 ≤ 0, donc
f(x) ≤ 10
f(x) inférieur ou égal à 10 donc f(x) a pour maximum 10.

D'accord, merci beaucoup!

Juste, comment doit-on procéder si jamais on ne nous donne pas d'indication sur le maximum ou le minimum à démontrer?

Utilise le tableau de variation.

Oui, c'est une technique mais peut-on le faire par le calcul?

Cela dépend de la fonction.
Pour les fonctions du second degré, on peut utiliser l'écriture sous la forme canonique.

Comme nous ne l'avons pas encore vu, je suppose qu'on nous donnera toujours les indications pour démontrer.