exponentielle/intégrale/Suite
-
MMatheux68 dernière édition par
Bonjour,
J'ai un énorme soucis pour résoudre ce problème, et je doit le rendre ...
Le voici:On considère la suite (In) définie pour n(>=1) , par
In= ∫(0 et 1) (e(e(e^{-nx})/(ex)/(e^x)/(ex+1) dx
Démontrer que la suite (In) est convergente .Alors j'ai conjecturé à l'aide de géogebra que la suite est décroissante :
Pour n=1 -->0,2522
Pour n=2 --> 0,1801
Pour n=3 --> 0,1366
Pour n=4 --> 0,1088Je suppose donc que ma suite est décroissante. Ainsi elle semble tendre vers 0 car pour
n=99 --> 0,005. Donc je doit démontrer par récurrence (je suppose ?), que le minaurant de cette suite est 0 pour que je puisse prouver qu'elle converge bien vers 0 et c'est là mon problème ! Je n'arrive pas du tout à la faire ...
Déjà ce que je cherche à démontrer est que P(n): "(In)>ou = à 0" ? C'est bien ça ?
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci !
-
MMatheux68 dernière édition par
Quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ? C'est urgent !!
Merci d'avance !
-
mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Travailler dans l'urgence n'est pas une bonne méthode.
Pose tes questions avec suffisamment d'avance, si tu as besoin d'aide.
Je regarde ta question pour le cas où ce ne serait pas trop tard .
S'il suffit de démontrer que la suite (In) est convergente, ton idée est bonne : tu démontres que (In) est minorée et décroissante donc convergente. Cela ne te donnera pas la limite et j'ignore si la limite est demandée...
Si j'ai bien lu, pout n≥1
$i_n=\bigint _ 0^1 \frac{e^{-x}}{e^x+1}dx$
Tu justifies sans difficulté que e−xex+1>0\frac{e^{-x}}{e^x+1} \gt 0ex+1e−x>0 donc l'intégrale entre 0 et 1 est strictement positive .
La suite (In) est minorée par 0
$i_{n+1}-i_{n}=\bigint_0^1\frac{e^{-(n+1}-e^{-n}}{e^x+1}dx$
En transformant le numérateur , tu dois trouver :
$i_{n+1}-i_{n}=\bigint_0^1\frac{e^{-n}(e^{-x}-1)}{e^x+1}dx$
En faisant l'étude des signes, tu prouves que
e−n(e−x−1)ex+1≤0\frac{e^{-n}(e^{-x}-1)}{e^x+1}\le 0ex+1e−n(e−x−1)≤0
donc l'intégrale entre 0 et 1 est négative
in+1−in≤0i_n+1-i_n \le 0in+1−in≤0
doncin+1≤ini_{n+1}\le i_nin+1≤in donc suite (In) décroissante.
Tu peux donc tirer la conclusion sur laconvergence de la suite (In)
Si tu veux prouver que la limite de la suite (In) est 0, tu peux, par exemple, utiliser le théorème des 2 gendarmes en encadrant In.
Reposte si tu as besoin de cette limite (et si l'énoncé ne te donne pas de piste pour le faire)