Probabilités et intervalle de fluctuation



  • Bonjour,

    Exercice :

    Un journaliste écrit :

    "Seulement 65% des ménages vivant à Paris possèdent une voiture".
    On consulte la situation de 50 ménages parisiens choisis au hasard et on note X la variable aléatoire associée au nombre de ménages possédant un véhicule, parmi les 50. On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale B (50 ; 0,65).

    1. Donner la formule à saisir en cellule B2, et à recopier vers le bas, pour obtenir les probabilités P(X ≤ k) du tableau suivant.

    Voir pièce jointe :

    fichier math

    1. En utilisant les extraits de table, déterminer :

    P(X ≤ 30), P(X ≤ 33) et P (X > 36).

    1. a) Lire sur la table le plus petit entier a tel que :
      P(X ≤ a) > 0,025
      et le plus petit entier b tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975.

    b) En déduire l'intervalle [a/n ; b/n], intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence.

    1. En réalité, sur les 50 ménages considérés, 37 ménages possèdent une voiture.
      Peut-on rejeter l'affirmation du journaliste ?

    Voici mes réponses :

    1. =LOI.BINOMIALE(A2;50;0,65;VRAI)

    2. P(X≤30) ≃ 0,2736
      P(X≤33) ≃ 0,6111
      P(X>36) = 1 - P(X ≤ 36)
      = 1 - 0,8837
      = 0,1163

    3. a)
      P(X≤26) ≃ 0,0396 > 0,025
      a = 26
      P(X≤39) ≃ 0,9840 ≥ 0,975
      b = 39

    Intervalle de fluctuation à 95% :
    [a/n;b/n] soit [26/50;39/50] = [0,52;0,78]
    f = 37/50 = 0,74
    f ∈ [0,52;0,78]
    On ne rejette donc pas OU On accepte donc l'affirmation du journaliste au risque 5%.
    (Je ne sais pas trop comment bien formuler cette phrase).

    Pouvez-vous m'aider et me dire mes erreurs, ce qui n'est pas bon dans mes calculs, si mes réponses sont bonnes, si c'est bien rédigée... s'il vous plait. Merci d'avance.

    edit : merci de donner des titres significatifs


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je viens de vérifier tes réponses : tout est bon.

    Pour l'explication de l'intervalle de fluctuation à 95%, tout dépend de ce que te dit ton cours.

    De façon générale, cet intervalle est

    i=[p1n,p1n]i=[p-\frac{1}{\sqrt n},p-\frac{1}{\sqrt n}]

    pour n ≥ 25 et 0.2 ≤ p ≤ 0.8 (Ici, n=50 et p=0.65)

    Pour une loi binomiale, on choisit l'intervalle

    j=[an,bn]j=[\frac{a}{n},\frac{b}{n}] (que l'énoncé te demande de calculer).

    Cet intervalle J est sensiblement le même que I.

    Si cette explication est donnée dans ton cours, tu n'as rien à justifier; sinon, tu expliques.

    Pour la dernière phrase, tu peux peut-être dire que, au seuil de 5%, l'affirmation du journaliste est vraie.


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