Exercice Produit scalaire

Bonjour les amis,

Je suis nouvelle ici et heureuse de pouvoir trouver de l'aide.
Alors, je vous explique: lorsque je vois ma leçon sur les produits scalaires (en faisant les exercices associés) il n'y a pas de soucis, mais lorsque j'arrive sur le sujet de mon exercice, c'est le blanc total, j'ai déjà passer au moins quatre heures dessus, sachant que ce n'est qu'un exercice parmi d'autres à faire ... Je commence à être désespérée ... Je ne cherche pas à ce qu'on fasse mon devoir, mais qu'on m'oriente pour que je puisse au final, savoir le refaire de moi-même.

Voici l'exercice;

On considère un triangle RAP rectangle en R, I est le milieu de [AP], H le projeté orthogonal de R sur (AP), J celui de H sur (RA) et E celui de H sur (RP).

On veut démontrer que (RI) est perpendiculaire à (JE).

Première méthode.

a) Exprimer le vecteur Ri en fonction de (vect) RA et (vect) RP .
b) Montrer que (vect) RA scalaire (vect) RJ = RH². En déduire une comparaison des produits scalaires (vect) RA scalaire (vect) RJ et (vect) RP scalaire (vect) RE.
c) Calculer le produit scalaire : (vect) RI scalaire (vect) JE. Conclure.

Deuxième méthode:

On pose RA=b et RP = c. On considère le repère orthonormé (A; (vect) I; (vect) J) où (vect) i est le vecteur unitaire colinéaire à (vest) RA et de même sans, et (vect) J est le vecteur colinéaire à (vect) RP et de même sens.

a) Déterminer les coordonnées des points R, A, P et I dans les repère (A; (vect) I; (vect) J).
b) Déterminer une équation de la droite (AP). En déduire que les coordonnées du point H sont: Xh ) (bc²)/(b²+c²) et Yh= (b²c)/(b²+c²).
c) Déterminer les coordonnées des vecteurs (vect) Je et (vect) Ri. Conclure.

Voilà ... J'espère que je trouverais quelqu'un pour m'aider, merci d'avance !

Cordialement, Sunshine972

Bonjour,

Les deux parties sont totalement indépendantes. TU peux traiter la seconde, même si tu n'as pas fait la première.

Pistes pour la première partie,

a)I est le milieu de [AP]

Si tu as dans ton cours une formule "toute faite", tu peux dire directement que

$\text{\vec{ri}=\frac{1}{2}(\vec{ra}+\vec{rp})$

Sinon, tu utilises deux fois la relation de Chasles :

$\text{\vec{ri}+\vec{ia}=\vec{ra} \ \vec{ri}+\vec{ip}=\vec{rp}$

Tu ajoutes membre à membre, tu simplifies, tu divises par 2 et tu obtiens la formule voulue.

b) Encore la relation de Chasles

$\text{\vec{ra}.\vec{rj}=(\vec{rh}+\vec{ha}).(\vec{rh}+\vec{hj})$

Tu développes, tu simplifies et tu trouveras la réponse :

$\text{\vec{ra}.\vec{rj}=\vec{rh}^2=rh^2$

Vu que les deux côtés de l'angle droit, dans un triangle rectangle, jouent le même rôle, tu n'as pas besoin de refaire toute la démonstration.

$\text{\vec{rp}.\vec{re}=\vec{ra}.\vec{rj}=\vec{rh}^2=rh^2$

c) Tu utilises tout ce qui a été prouvé avant (c'est le but)

Encore la relation de Chasles

$\text{\vec{ri}.\vec{je}=\frac{1}{2}(\vec{ra}+\vec{rp}).(\vec{jr}+\vec{re})$

Tu développes, tu simplifies et tu trouveras :

$\text{\vec{ri}.\vec{je}=\vec{0}$

d'où la réponse.

Bon travail !

Merci beaucoup, je n'avais pas fait le lien avec la relation de Chasles ...

Pour la méthode deux:

Je trouve R(0;0) A(1;0) P(0;1) et I(1/2;1/2)
Je trouve y=x +1 car en une graduation sur l'axe des abscisses, on descend de un sur l'axe des ordonnées et le +1 car à 0 sur l'axe des abscisses, ,on est à 1.
Je ne trouve pas comment démontrer pour les coordonnées de H, mon équation est-elle fausse ?
Si oui, pourriez-vous me donner ma méthode pour retrouver l'équation exacte?

Merci d'avance
Sunshine

Pour la méthode 2), ce que tu écris me laisse perplexe...

Tu parles de repère $\vec{i},\vec{j})$ et tu écris que R a pour coordonnées (0,0)...

Alors , l'origine du repère , c'est A ou c'est R ?

Merci de préciser.

mtschoon
Pour la méthode 2), ce que tu écris me laisse perplexe...

Tu parles de repère $\vec{i},\vec{j})$ et tu écris que R a pour coordonnées (0,0)...

Alors , l'origine du repère , c'est A ou c'est R ?

Merci de préciser.

Désolée, j'ai changer les données de l'exercice pour être capable de le refaire.
L'origine du repère est R.

Merci et encore désolée

C'est donc R l'origine du repère.

Il ne faut pas changer les données, sinon les résultats seront impossibles à prouver!

Tu as écrit RA=b et RP=c

Alors, tes réponses A(1;0) P(0;1) et I(1/2;1/2) sont inexacts.

Revois les cordonnées des points (et l'équation de la droite)

Bonjour,
Je n'ai changer que les lettres, à part cette erreur d'inattention, j'arrive à m'y retrouver.

Pour être sûre de repartir sur de bonne bases:
R(0,0) A(b;0) P(0;c) et I (1/2b; 1/2c)

Je pense que c'est cela, pouvez-vous me rappeler la formule qui me permet de trouver l'équation, s'il vous plaît, parce que dans mes essais, ça ne corresponds pas, je pense utiliser la mauvaise formule.

Merci d'avance
Sunshine

C'est bon pour les coordonnées des points.

Pour l'équation de la droite (AP), tu as le choix : il s'agit de trouver l'équation d'une droite (non parallèle à l'axe des ordonnées) passant pas deux points. Il y a plusieurs méthodes possibles. Regarde ton cours.

Par exemple, tu peux dire que l'équation est de la forme y=mx+q

Elle passe par A et P : tu obtiens un système à résoudre pour trouver m et q.

Sauf erreur, tu devrais trouver :

$y=−cbx+cy=-\frac{c}{b}x+c$