Les coefficients binomiaux

Bonjour, j'ai un soucis avec un devoir maison de maths. Je vous ai scanné entièrement mon dm, mais je n'ai besoin d'aide uniquement que pour le dernier exercice. J'ai préféré le scanner pour avoir une meilleure "mise en forme" pour éviter la confusion.
Alors, tout d'abord, je n'ai absolument aucune leçon sur les lois binomiales pour le moment, on a simplement abordé le sujet en cours pendant une petite heure... Alors je ne comprends pas grand chose ( pour pas dire rien du tout ) a cet exercice 3...
J'aimerais bien un peu d'aide, parce que je ne vois pas comment faire du tout...
Un grand merci d'avance a ceux qui m'aideront !

edit : titre

Bonjour laurbt,

Cet exercice 3 n'a en fait pas grand chose à voir avec la loi binomiale... (d'ailleurs je vais changer le titre de ton topic).

As-tu répondu à la question 1a) : il faut que tu te représentes un arbre, un schéma de Bernoulli.

Je sais que le nombre de chemins possibles sont 2^n mais je ne sais pas comment le justifier. En ce qui concerne les autres questions, je ne vois pas du tout...

a) Il n'y a que deux issues à chaque niveau de l'arbre. Donc le nombre de chemins est multiplié par 2 à chaque étape. 2x2x2x2x... $x2=2^n$ .

b)
Si on suit les chemins de l'arbre :
$(n0){n\choose 0}$ c'est le nombre de chemins avec 0 succès.
$(n1){n\choose 1}$ c'est le nombre de chemins avec 1 succès.
...
$(nk){n\choose k}$ c'est le nombre de chemins avec k succès.
...
jusqu'à $(nn){n\choose n}$ le nombre de chemins avec n succès.

Bref la somme $(n0)+(n1)+...+(nn){n\choose 0}+{n\choose 1}+...+{n\choose n}$ c'est le nombre total de chemins soit $2^n$ .

Ca va tu me suis ?

Oui ça va j'ai compris merci beaucoup ! Et pour la suite ?

2)a) Tu fais comme pour la 1)a)

b) Il y a donc 2n répétitions : les n premières puis les n suivantes.

$(n0)×(nn){n\choose 0}\times {n\choose n}$ le nombre de chemins contenant 0 succès parmi les n premières et n succès parmi les n suivantes.

$(n1)×(nn−1){n\choose 1}\times {n\choose n-1}$ le nombre de chemins contenant 1 succès parmi les n premières et n-1 succès parmi les n suivantes.

$(n2)×(nn−2){n\choose 2}\times {n\choose n-2}$ le nombre de chemins contenant 2 succès parmi les n premières et n-2 succès parmi les n suivantes.

$(nk)×(nn−k){n\choose k}\times {n\choose n-k}$ le nombre de chemins contenant k succès parmi les n premières et n-k succès parmi les n suivantes.

Dans chacun des cas cela fait n succès parmi les 2n répétitions mais avec une répartition différente entre les n premières et les n suivantes.

Tu me suis ?

Oui bien sur merci ! Mais en fait il n'y a aucuns calculs a faire ?
Et pour la suite ?

non aucun calcul.

Remarque que :
0+n=n
1+(n-1)=n
k+(n-k)=n

Pour $(n0)×(nn){n\choose 0}\times {n\choose n}$ ou $(n1)×(nn−1){n\choose 1}\times {n\choose n-1}$ ou $(nk)×(nn−k){n\choose k}\times {n\choose n-k}$ cela fait toujours différentes façons de répartir n succès parmi 2n épreuves.

Donc en additionnant toutes les façons :
$(n0)×(nn)+(n1)×(nn−1)+...+(nk)×(nn−k)+...+(nn)×(n0)=(2nn){n\choose 0}\times {n\choose n}+{n\choose 1}\times {n\choose n-1}+...+{n\choose k}\times {n\choose n-k}+...+{n\choose n}\times {n\choose 0}={2n\choose n}$

Tu me suis toujours ?

Reste à rendre plus simple chacun des produits $(nk)×(nn−k){n\choose k}\times {n\choose n-k}$ ...

Tu as probablement dans ton cours une propriété disant que
$(nk)=(nn−k){n\choose k}= {n\choose n-k}$

Avec ça tu vas pouvoir conclure.

Non justement, je n'ai aucun cours... C'est pour ça que j'ai énormément de mal avec cet exercice, on a simplement abordé le sujet des coefficients binomiaux pendant une petite heure sans rien écrire de spécial dessus...

Avec mes explications et cette dernière propriété, arrives-tu au bout de l'exercice ?

(As-tu compris celui de 20:43 ?)

Je comprends pas pourquoi on arrive a 2n répétitions a la fin de l'addition... et du coup je n'arrive pas a conclure

Je n'arrive pas non plus au 2)a)

Ah oui pour le 2a) je t'ai donné une mauvaise indication.

En fait c'est le principe même des coefficients binomiaux : le nombre de chemins à n succès parmi 2n répétitions est $(2nn){2n\choose n}$

Je vais essayer de t'expliquer à quoi servent ces coefficients binomiaux.

D'une façon générale le nombre de sous-ensembles de k éléments que l'on peut créer dans un ensemble de n éléments est $(nk){n\choose k}$ .

Par exemple, si on a 4 répétions. De combien de façons pouvons-nous placer 2 succès :
SSEE
SESE
SEES
ESSE
ESES
EESS
Cela fait 6 façons. Mais la réponse est donnée plus rapidement en calculant $(42)=6{4\choose 2}=6$ .

Avec ces explications comprends-tu pourquoi le nombre de chemins avec n succès parmi 2n répétitions est $(2nn){2n\choose n}$ ?

Oui merci j'ai compris. Mais je n'arrive pas a trouver pour le 2)a)

Le nombre de chemins à 2 succès parmi 4 répétitions est $(42){4\choose 2}$ .

Donc le nombre de chemins à n succès parmi 2n répétitions est ????

C'est bon j'ai compris ! Merci ! Par contre, pour le 3)a) et le 3)b) je suis perdu...

3)a) Prenons un exemple :

Il y a $(53){5\choose 3}$ façons de placer 3 Succès parmi 5 répétitions. Ça tu l'as compris.

Mais placer 3 succès parmi 5 répétitions revient automatiquement à placer 2 Échecs parmi ces 5 répétitions : à chaque fois qu'on trouve une façon de placer 3 Succès parmi 5 répétions, on trouve automatiquement une façon de placer 2 Échecs parmi 5 répétitions.
Or combien y-a-t-il de façons de placer 2 Echecs parmi 5 répétions : $(52){5\choose 2}$ !
C'est pourquoi $(53)=(52){5\choose 3}={5\choose 2}$

Par un raisonnement analogue tu vas pouvoir expliquer pourquoi $(nk)=(nn−k){n\choose k}={n\choose {n-k}}$

3)b)
Donc $(nk)×(nn−k)=(nk)2{n\choose k}\times{n\choose {n-k}}={n\choose k}^2$ et...