Donner la forme exponentielle et argument d'un nombre complexe


  • A

    Bonsoir,

    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé ((o,u⃗,v⃗))\left(o,\vec{u},\vec{v} ) \right)(o,u,v))
    Pour tout entier naturel n, on note An lep oint d'affixe Zn défini par:
    Z0=1 et Zn+1=(34+34i)zn\left(\frac{3}{4} +\frac{\sqrt{3}}{4}i\right)zn(43+43i)zn
    On définit la suite (rn) par rn=∣zn∣\left|zn \right|zn pour tout entier naturel n.

    1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe 34+34i\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i43+43i
      2 Démontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangle en An+1

    2. z=32eiπ6z=\frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{i\pi }{6}}z=23e6iπ

    3. Je trouve arg (33i)\left(\frac{\sqrt{3}}{3}i \right)(33i)
      le corrigé indique que c'est égale à π2\frac{\pi }{2}2π 😕
      J'ai beau regarder mon cercle trigonométrique, je n'arrive pas à comprendre pourquoi?

    Merci pour votre aide


  • mtschoon

    Bonjour,

    oui pour la 1)

    Pour la 2), j'ignore comment tu as trouvé arg(33i)arg(\frac{\sqrt 3}{3}i)arg(33i)

    Je te réponds seulement à ta question :

    arg(33i)=π2arg(\frac{\sqrt 3}{3}i)=\frac{\pi}{2}arg(33i)=2π

    $\text{\frac{\sqrt 3}{3}i est de la forme bi, avec b \gt 0$

    C'est un imaginaire pur avec sa partie imaginaire strictement positive.

    Son image ponctuelle M est le point de coordonnées réelles (0,33)(0,\frac{\sqrt 3}{3})(0,33)

    En appelant (o,u⃗v⃗)(o,\vec{u}\vec{v})(o,uv), le repère :

    Place le point M

    $\text{(\vec{u},\vec{om})=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$


  • A

    Bonsoir,

    Pour 1), j'ai directement donné le résultat car je n'ai pas eu de difficulté

    Pour 2) si j'ai bien compris votre explication, si j'avais eu par exemple arg 54i\frac{\sqrt{5}}{4}i45i, c'était aussi égal à π2\frac{\pi }{2}2π???

    Merci


  • mtschoon

    oui.

    Un autre exemple:

    arg(−54i)=−π2arg(-\frac{\sqrt 5}{4}i)=-\frac{\pi}{2}arg(45i)=2π


  • A

    Ok j'ai compris 😄

    Merci


  • mtschoon

    De rien !


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