Démontrer par récurrence sur les suite une propriété sur la dérivée de la fonction puissance



  • Salut à tous j'ai un devoir maison à rendre et un exercice me pose problème , j'espère que vous pourrais m'aider , merci d'avance :

    On admet que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors uv est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv'
    Démontrer que si u est une fonction dérivable sur un intervalle I alors pour tout entier naturel n non nul, U^n est dérivable sur I et : (U^n)' = n*u^n-1 * u'



  • Je n'ai vraiment aucune piste , je sais seulement que je doit arriver à démontrer une suite par récurrence ...
    On m'as proposé ça , mais la récurrence n’apparaît pas :
    Soit x,n € I, u une fonction dérivable sur I et soit f une fonction tel que f(x)=x^n
    On sait que f'(x)= n*x^(n-1) sur I
    f'(x) est dérivable sur I si (u^n) est dérivable sur I On sait que (u)'=u' Par conséquent (u^n)=u'nu^(n-1)

    Avez vous des idée s'il vous plaît ?


  • Modérateurs

    Bonjour

    Ta proposition n'est pas bonne ici car elle utilise une propriété générale que tu n'es pas censé connaître et dans ce cas, tu ne démontres rien.

    Piste pour la récurrence ,

    Tu connais le principe vu que tu l'as utilisé pour ton précédent exercice.

    Initialisation : tu vérifies que la propriété est vraie pour n=1

    Idée pour la transmission : pense à utiliserla dérivée d'un produit

    $\text{u^{n+1}=u^n \times u$

    $\text{(u^{n+1})'=(u^n \times u)'=(u^n)'\times u + u^n\times u'=....$



  • D'accord mais pourquoi pour n=1 et non pas pour n= 0 ? Et je n'ai pas la suite Un j'ai juste U^n' . Je n'arrive pas a comprendre cette histoire dérivé en relation avec la suite ...


  • Modérateurs

    l'énoncé te dit "pour tout entier naturel n non nul" donc n ≥ 1

    Piste pour la transmission

    Tu supposes, pour n ≥ 1 que :

    (un)=nun1u(u^n)'=nu^{n-1}u'

    Tu dois démontrer que :

    (un+1)=(n+1)unu(u^{n+1})'=(n+1)u^{n}u'

    Pour faire la démonstration, relis ma réponse précédente.



  • Mais c'est U^n' qu'on me donne dans l'énoncé et non pas pas Un' ... Pour la vérification , ça serait ça alors : (Un)' = Un * U' pour n= 1 ?


  • Modérateurs

    Tout à fait. Ce sont des puissances dont il s'agit.

    Pour n=1 :

    $\text{u^1=u donc (u^1)'=u' \ \ or 1u^{1-1}u'=1u^0u'$

    $\text{vu que u^0=1 , 1u^{1-1}u'=u'$

    Il y a donc bien l'égalité voulue.



  • J'ai compris ton raisonnement mais comment tu sais que U¹ = U ?


  • Modérateurs

    Tout réel a élévé à la puissance 1 vaut a : a1=aa^1=a



  • Et je n'ai pas compris lorsque tu fais la transmission , comment tu sais que U^n+1 = U^n * U ?


  • Modérateurs

    Ce sont les propriétés usuelles des puissances :

    an+m=an×ama^{n+m}=a^n\times a^m

    Pour m=1

    an+1=an×a1a^{n+1}=a^n\times a^1

    Comme a1=aa^1=a

    an+1=an×aa^{n+1}=a^n\times a



  • D'accord merci beaucoup ! Et donc pour la transmission je bloque a ce niveau :

    U^n+1)' = n * U^n-1 * U' * U + U^n * U'
    (j'ai remplacé U^n' par son égalité que m'as donné l’énoncé)


  • Modérateurs

    Il faudra que tu revois les propriétés des puissances car c'est cela qui te pose problème.

    Principe

    an1×a=an1×a1=an1+1=ana^{n-1}\times a=a^{n-1}\times a^1=a^{n-1+1}=a^n

    En utilisant cette propriété, l'expression se transformera pour trouver le résultat souhaité.



  • Merci beaucoup mtshoon , j'ai trouvé 🙂 J'ai pris du temps mais j'ai trouvé 🙂


  • Modérateurs

    C'est très bien !
    C'est ainsi qu'on progresse.

    Bonne semaine.


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