Exercice valeurs intermédiaires

Bonjour à tous, je suis en terminale S et cela fait plusieurs exercices que je n'arrive pas à faire et même en regardant la leçon je n'y arrive pas vu que je ne comprend pas. Donc voila je vous demande de l'aide pour cette exercice et j'espère ainsi comprendre et donc réussir tous les autres exercices.

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [-2 ; 2 ] par : f(x) = 77x^3 - 116 x² - 17x + 56. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x) = 0 puis un encadrement à 10-2 près de chacune d'elles.

Donc j'ai trouvé que f'(x) = 231x² - 231x -17 donc après avec Δ= 69532 je trouve 2 racines qui sont : (232-√69532)/262 et (232+√69532)/262 donc ensuite j'ai fait le tableau de signes de f'(x) donc f'(x) positive de ]-infini ; (232-√69532)/262 ] puis négative de [(232-√69532)/262 ; (232+√69532)/262 ] puis positive de [ (232+√69532)/262 ; + infini [
Et donc ainsi je fais le tableau de variation de f(x) donc f(x) est croissante de ]-infini ; f((232-√69532)/262) ] puis décroissante de [f((232-√69532)/262) ; f((232+√69532)/262) ] puis croissante de [ f((232+√69532)/262) ; + infini [
Avec la calculatrice j'ai vu que f(x) s'annule pour x≈-0,637 x≈1 et x≈1,142
Mais après je ne vois pas quoi faire surtout que mon professeur veut que je le justifie autrement qu'avec la calculatrice.

Merci d'avance

Bonjour coucou23,

Simplifie l'écriture des racines x1 et x2.
A partir du tableau de variation, tu montres que pour x variant de -∞ à x1 f(x) varie de -∞ à f(x1) et comme f(x1) > 0, il existe une valeur de x telle que f(x)=0,
idem pour les autres intervalles.
Tu détermines ensuite, dans chaque cas, à la calculatrice une valeur approchée.

Bonjour,

Je ne vois pas très bien comment je peux simplifier l'écriture des racines et d'ailleurs j'ai fait une erreur c'est pas 262 mais 462.
Par contre pour la suite je pense et j'espère avoir compris.
Donc :
-2 < (232-√69532)/462 or f est croissante sur l'intervalle [-2 ; (232-√69532)/462 ]
donc f(-2) < f((232-√69532)/462)
or f(-2) < 0 et f((232-√69532)/462)>0 et f est continue sur l'intervalle
[-2 ; (232-√69532)/462 ]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel alpha dans cet intervalle tel que f(x)=0

Ensuite :
(232-√69532)/462 < (232+√69532)/462 or f est décroissante sur l'intervalle [(232-√69532)/462 ; (232+√69532)/462 ]
donc f((232-√69532)/462) > f((232+√69532)/462)
or f((232-√69532)/462) > 0 et f((232+√69532)/462)<0 et f est continue sur l'intervalle
[(232-√69532)/462 ; (232+√69532)/462 ]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel beta dans cet intervalle tel que f(x)=0
Et enfin :
(232+√69532)/462 < 2 or f est croissante sur l'intervalle [(232+√69532)/462 ; 2 ]
donc f((232+√69532)/462) < f(2)
or f((232+√69532)/462) < 0 et f(2)> 0 et f est continue sur l'intervalle
[(232+√69532)/462 ; 2 ]
D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel c dans cet intervalle tel que f(x)=0
Ainsi f(x) =0 admet 3 solutions sur l'intervalle [-2;2]
D'après la calculatrice on a f(x) = 0 lorsque
alpha environ égal à -0.64
beta égal à 1
c environ égal à 1.14

Voila j’espère que c'est juste car cela voudrait dire que j'ai compris.

Merci de votre aide.

Pour la simplification 69532 = 4 x 17383

Ah oui donc j'ai trouvé comme simplification : (116-√17383)/231 ou (116+√17383)/231
Merci beaucoup !