DM suites et récurrence avec fonction

bonjour, j'ai ce devoir à rendre mais je bloque sur une question et mes recherches sont sans succès

f(x)=x+(1/2) $x^2$ -(1/3) $x^3$
u $< e m > 0$ =1/2 et pour tout entier naturel n, $u</em>{n+1}$ =f( ${u_n}$ )= ${u_n}$ +(1/2) ${u_n}$ $^2$ -(1/3) ${u_n}$ $^3$

je dois d'abord etudier le sens de variation de f puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturle n, 1/2 $≤\leq$ u $< e m > n$ $≤\leq$ $u</em>{n+1}$ $≤\leq$ 3/2

c'est là que je ne sais pas comment m'y prendre
merci de m'aider, cela serait très aimable à vous

Bonjour kiloalove,

Comment procèdes tu pour une démonstration par récurrence ?

normalement il n'y a que deux "termes" pour les inégalités, et je n'ai jamais fait avec 4 donc je bloque

Fait par groupe de 2 ou 3.
A partir du tableau de variation, comment varie f ?

j'ai essayé et je n'y arrive pas
à partir du tableau de variation, f est croissante, décroissante et croissante

Donc f varie sur quel intervalle ?

donc f varie sur ]-inf;x1], [x1;x2] et [x2;+inf[
ps: je n'arrive pas à simplifier les racines

Attention ;
donc f décroisante sur ]-inf;x1], puis croissante [x1;x2] et décroissante sur [x2;+inf[
f varie de +∞ à f(x1) <0 puis de f(x1) à f(x2) avec f(x2)> f(x1) puis de f(x2) à -∞.

Pour la récurrence, calcule U1;
Suppose que la propriété est vraie pour k, démontre la pour k+1.

pouvez-vous m'aider en me donnant la propriété pn à démontrer merci à vous

Tu poses
1/2 ≤ $u_{k-1}$ ≤ $u_k$ ≤3/2
et tu démontres que
1/2 ≤ $u_k$ ≤ $u_{k+1}$ ≤3/2