Comment résoudre une équation sur un intervalle

Bonjour,

Voilà j'ai une équation de ce type à résoudre :

J'ai fait cela :

J'ai d'abord réduis au même dénominateur "tout en bas"
1+2/x+2/x
Ensuite.
J'ai fait cela :

x = 1+2x/(x+2) car multiplié par l'inverse
x = (x+2)2/(x+2)
x = 4x+4/x+2
x(x+2) = 4x+4 car j'ai appliqué a/b = d/c avec a = x b = 1 (dénominateur de a) c = 4x+4 et d x+2
x²+2 = 4x+4

=> 4x+2-x² = 0

Polynôme du 2nd degré
Delta = b²-4ac = 16-4(-1)(2) = 16+4(2) = 16+8 = 24

x1 = -4-√24/-2 ≈ 4.45
x2 = -4+√24/-2 ≈ -0.45

Est-ce juste?

J'attends une réponse...

Merci.

Bonsoir Veitchii,

Rectifie à partir de :
x = 1+2x/(x+2) =
Tu réduis la partie de droite au même dénominateur.

$\frac{x+2+2x}{x+2}$

x(x+2) = 3x+2

x²+2x = 3x+2

x²-x-2 = 0

C'est correct, tu peux maintenant résoudre l'équation.
N'oublie pas de préciser que x doit être différent de -2.

Oui car sinon, c'est égale à zéro.

Et en plus de cela, je dois résoudre sur l'intervalle ]0;+∞[

Delta = 1-4(1)(-2) = 9

Je calcule les racines, et je prends en compte que celle qui est situé sur l'intervalle ]0;+∞[

Oui, calcule les racines et choisis celle qui est positive.

x1 = 1 - √9/2 = 1-3/2 = -1

x2 = 1 + √9/2 = 1+3/2 = 4/2 = 2

Donc, (E2) admet une solution, x = 2 sur l'intervalle ]0;+∞[.

J'ai trouvé cela :

3x²+2x = 5x+6

-3x²+3x+6 = 0

Delta = 81

x1 = -3-9/-6 = 2
x2 = -3+9/-6 = -1

Une solution, sur ]0;+∞[ x = 2

C'est juste.

$fichier math$

On se propose de résoudre sur ]0;+∞[ pour n entier n ≥ 1, les équations (En)x = (voir image ci-dessus)

Pour cela on définit f par f(x) = 1+ (2/x) pour tout x réel non nul.

a. Démontrer que l'équation f(x) = x admets deux solutions alpha, bêta avec alpha < 0 < bêta.

J'avais pensé à d'abord, appelé la fonction x-f(x) = g(x).

Puis dérivée.

Etablir le tableau de signe.

Le tableau de variation.

Et appliquer le théorème des valeurs intermédiaire sur l'intervalle ]-∞;0[U]0;+∞[

Cela a donné ceci :

$u (x) = x$
$u^{'} (x) = 1$
$\frac{2}{x}$
$\frac{-2}{^{x2}}$
$\frac{2}{^{x2}}$

Juste?

x2 = x², je n'ai pas réussi à élever au carrée avec LaTeX.

Quelle est l'écriture de f ? f(x) = 1+2/x ?

$\frac{2}{x}$

f(x) = x a déjà été fait
1+2/x = x.

y a t-il une suite à l'énoncé ?

Je comprends pas ce que vous me demandez, il y a une question 2) b. mais qui parle de suite et non de fonction.

f(x) = x

1+ 2/x = x

Faudrait que je résous cette équation d'abord

Oui, résous cette équation,

$1+2x=x1+\frac{2}{x} = x$

$x+2x=x\frac{x+2}{x} = x$

x+2 = x²

-x²+x+2 = 0

oui,
calcule alpha et bêta

Delta = 9

x1 = -1+3/-2 = -1

x2 = -1-3/-2 = 2

alpha est donc égale à -1

bêta égale à 2

Et j'ai répondu à la question?

Oui
précise que alpha < 0 < bêta

-1 < 0 < 2. D'accord !

La suite de l'exo super long :

On définit la suite $U_n$ ) par $U_0$ > 0 et $U_{n+1}$ = $f(U_n$ ) pour tout entiern.

Et on pose $V_n$ = $un−2un+1\frac{un-2}{un+1}$

b. Montrer par récurrence que pour tout entier n, $U_n$ > 0 et en déduire que la suite $V_n$ ) est définie pour tout entier n.

Récurrence c'est cela :

Initialisation

Le problème, pour l'initialisation nous avons pas sur mon énoncé la valeur de U0, on sait slmt qu'elle est supérieur à 0.

Faut-il faire pour U0 = 1 ?

u0 >0, montre que u1 > 0

Donc pour l’initialisation je dois marquer ça :

Initialisation

n = 1

f(1) = 1+2 = 3

$U_1$ =3, donc vrai pour tout entier n > 0.

Juste?

Non u0 > 0
et u1 = 1 + 2/u0 >0

J'ai pas trop compris.

C'est une suite de la forme Un+1, donc il faut prendre la valeur de U0 pour pouvoir calculer le terme suivant. Mais ici, que dois-je marquer pour initialisation?

Pour l'initialisation
tu poses u0 >0 et tu montres que u1 >0.

Mais j'comprends pas trop, le fait de poser et de montrer

u1 = 1+2/u0
Comme uo>0, 2/u0 > 0 et 1 + 2/u0 >0
donc u1 > 0

D'accord, merci.

Initialisation :

Uo > 0
2/Uo > 0
1 + 2/Uo > 0

Donc U1 > 0

Hérédité :

On suppose pour un certains k, Uk > 0
On veut montrer que Uk+1 > 1

Est-ce bon pour le début?

Le début est correct.

D'après la définition Un+1 = f(Un) = 1 + 2/x

Donc Uk+1 = 1+2/k

1 + 2/k > 1+ 1 + 2/k

1 + 2/k > 2 + 2/k

Bon?

attention :
f(Un) = 1 + 2/Un

Ah oui mince

Un+1 = f(Un) = 1+ 2/Un

Donc Uk+1 = f(Uk) = 1+ 2/Uk

Je recommence

On suppose que pour un certains k, Uk > 0
On veut montrer que que Uk+1 > 1

Uk > 0

Je bloque là. Piste s'il vous plaît ?

Tu appliques le même raisonnement qu'avec u0.

Uk > 0

2/Uk > 2/0

2/Uk > 0

1 + 2/Uk > 1

Uk+1 > 1

Conclusion :

Pour tout entier n, Un > 0.

Juste?

Uk > 0

2/Uk > 0

1 + 2/Uk > 1

Uk+1 > 1

Sa paraît juste ce que j'ai marqué donc.

Par contre pour la seconde partie de la question, j'vois pas du tout.

Je rappelle :

Vn = (Un-2/Un+1)

et en déduire que la suite (Vn) est définie pour tout entier n.

Une piste please?

Thks !

Un > 0, Un- 2 > -2 et Un+1 > 0
donc Vn.....

Comment? Pas tellement compris

Un > 0, Un- 2 > -2 et Un+1 > 0
donc Vn est définie quel que soit n.

Mais j'ai pas compris.

Pourriez-vous m'expliquer plus concrètement merci.