géometrie plane et équation
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Aallthekpop dernière édition par
Bonjour,
Me voilà confrontée à un exercice à rendre, cependant je suis handicapée par une simple chose, je n'ai pas compris la question...
Voici mon énoncé :
A et B sont deux points du plan tels que AB = 1. M est un point du segment [AB]. On construit dans le même demi-plan les points P et Q tels que AMP et MBQ sont des triangles équilatéraux.
voici le shéma de la figure :
Je vous remercies d'avance.
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
La figure est correcte : P et Q sont du même côté par rapport à la droite (AB).
Mais quelle est cette question que tu ne comprends pas ?
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Aallthekpop dernière édition par
Excusez-moi, j'ai oubliée de marquée ma question :"Démontrer la postition de M qui rend maximale l'aire du triangle MPQ "
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Mmathtous dernière édition par
Quelle est la mesure de l'angle PMQ ?
Pose x = AM.
Trace la droite passant par P et perpendiculaire à (MQ) : elle coupe (MQ) en H.
Calcule PH et MQ en fonction de x.
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Aallthekpop dernière édition par
Voici pour l'instant ma figure donné :
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Mmathtous dernière édition par
AB = 1 et AM = x.
Que vaut BM ?
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Aallthekpop dernière édition par
Je vais essayer de continuer, pour moi vous me demandiez de faire ça :
x = AM = PA = PM
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PH = PM + MH
PH = x + MH -
MQ = AB - AM
MQ=AB-x
Est-ce bien cela que vous m'aviez demandé?
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Aallthekpop dernière édition par
Donc BM = AB-x
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Mmathtous dernière édition par
Mais AB = 1, donc BM = 1-x.
BMQ est équilatéral, donc que vaut MQ ?
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Aallthekpop dernière édition par
Donc du coup MQ est également égal à 1-x
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Mmathtous dernière édition par
Citation
- PH = PM + MH
PH = x + MHPourquoi un signe moins ?
Attention : il s'agit de distances, pas de vecteurs.
Je résume :
AM = x
BM = 1-x
Le triangle BMQ est équilatéral. Que vaut MQ ?
PS : attend mes réponses sinon les messages se croisent et on ne comprend plus rien.
- PH = PM + MH
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Mmathtous dernière édition par
Et PM ?
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Aallthekpop dernière édition par
C'était pas un signe "-" mais juste un tiret excusez-moi pour la confusion...
Donc je reprends :
AM=x
BM=1-xEt comme un triangle équilatérale a pour tous ses côtés la même longueurs, alors AM = PM = x
PM = x
ou encore PM = AB-MB
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Mmathtous dernière édition par
Citation
ou encore PM = AB-MBA éviter car les points ne sont pas alignés.
Quelle est la mesure de l'angle PMQ ?
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Aallthekpop dernière édition par
On nous la donne pas?
Faut il
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Mmathtous dernière édition par
On ne donne aucune mesure d'angle.
Par contre, on donne des triangles équilatéraux.
Quelle est la mesure de l'angle AMP ? Celle de l'angle BMQ ?
Tu peux en déduire celle de l'angle PMQ.
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Aallthekpop dernière édition par
Ah, oui effectivement !
Donc je récapitule :
AM = x
BM = 1-x
AM = PM donc PM = xComme les triangles PMA et MQB sont des triangles équilatéraux, cela me permet d'en déduire que chacun que leurs angles sont égales à 60°.
Je peux en déduire les angles de :
→ AMP : 60°
→ BMQ : 60°et ainsi de PMQ : 180 - 60 + 60 = 60°
Est-ce bien cela?
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Bonsoir alithekpop,
C'est correct;
Calcule la hauteur puis l'aire du triangle.
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Aallthekpop dernière édition par
Le triangle PMQ?
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Oui,
pour le triangle PMQ.
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Aallthekpop dernière édition par
Je ne vois pas comment on pourrait faire, à moins que le résultat comprenne pas des chiffres mais des variables...?
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oui, il sera en fonction de x.
Exprime PH en fonction de x.
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Aallthekpop dernière édition par
Là, je n'y arrive absolument pas...
Les seules informations dont je dispose sont : PMQ = 60°
...Peut-être y a-t-il un lien avec la relation de Chasles?
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Non, la trigonométrie
PH = PM sin 60°
PH = ....
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Aallthekpop dernière édition par
Mon professeur nous a dit d'utiliser la théorème de Pythagore, ce dont je viens de me rendre compte.
cela va nous mener à trouver une équation correspondante à la hauteur de PH en fonction de des informations dont je dispose...
Le théorème de Pythagore est définie par la relation :
PM²=PH²+MH²
Est-ce bien cela?
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Non,
Tu pourras utiliser le théorème de Pythagore si tu as démontré que le triangle était rectangle.
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Aallthekpop dernière édition par
La médiane passe par le sommet du triangle PMQ et coupe perpendiculairement le côté opposé à P, en un nouveau point : H. Donc PHM est triangle rectangle.
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PH n'est pas une médiane mais la hauteur,
le triangle PMH est rectangle en H car tu as tracé la hauteur.
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Aallthekpop dernière édition par
Puis après avoir démonter cela, il faut faire :
PM²=PH²+MH²
x²=PH²+(1/2x)²
PH²=x²+(1/2x)²est-ce bien cela?
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Une erreur de signe.
PM²=PH²+MH²
x²=PH²+(1/2x)²
PH²=x²-(1/2x)²
= ......Simplifie puis exprime PH en fonction de x.
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Aallthekpop dernière édition par
PH²=(3/4x)²?
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PH²=3/4x²
donc PH = √3/2*x
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Aallthekpop dernière édition par
En traçant la médiane passant par le sommet M coupant le milieu du côté opposé (AP) en N, j'utilise le théorème de pythagore et je tombe sur la même valeur. Donc j'ai MN=√3/2. Je calcul ensuite l'aire du triangle PMQ (L*h/2) cela me fait :
MQPH/2
⇔(1-x)(√3/2)/2
⇔(1-x)*(√3/2)*1/2
⇔(1-x)*√3/4x
⇔√3/4x-√3/4x
soit -√3/4x+√3/4xest-ce juste?
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Indique tes calculs pour MN Quel triangle rectangle utilises tu ?
Pour l'aire du triangle :
MQPH/2
⇔(1-x)(√3x/2)/2
⇔(1-x)*(√3x/2)*1/2
⇔(1-x)*√3x/4
⇔√3/4x-√3/4x²
soit -√3/4x²+√3/4x
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Aallthekpop dernière édition par
J'utilise le triangle PMN :
PM²=MN²+NP²
x²=MN²+(1/2x)²
MN²=x²-(1/2x)²
MN²=(3/4x)²
MN=√3/2x
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Il faut justifier qu'il est rectangle.
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Aallthekpop dernière édition par
J'ai tracé la médiane passant par le sommet M coupant le milieu du côté opposé (AP) en N, créant le triangle rectangle PMN.
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Comment prouves tu que le triangle PMN est rectangle ?
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Aallthekpop dernière édition par
Citation
J'ai tracé la médiane passant par le sommet M coupant le milieu du côté opposé (AP) en N, créant le triangle rectangle PMN.?
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Le tracé de la médiane m'implique pas que le triangle est rectangle.