Déterminer l'écriture algébrique d'une expression avec nombres complexes

[ausecour]

bonsoir, j'ai un devoir maison à rendre mais je bloque sur 2 questions qui sont les suivantes :

1. determiner l'ecriture algébrique de : ( $sqrt$3 + i ${)}^{2013}$

2. résoudre dans l'ensemble $mathbbC$ des nombres complexes, l'équation d'inconnue z :
   2z(barre) + z = 9 - i

ATTENTION : j'ai ecrit 2z(barre), pour dire 2 fois le conjugué de z (je ne trouvais pas comment l'écrire ici)

je sais que z(barre) + z = 2 Re(z) , or je ne sais pas comment l'exploter dans cette equation.

merci de votre aide

[Noemi]

Bonsoir ausecour,

1. Quel est le module et l'argument de √3 + i ?
2. Remplace z par x + iy et z barre ....
   puis écris un système en fonction de x et y que tu résous.

[ausecour]

1. le module est 2 et l'argument pi/3, et ensuite?

2. jai posé z = a+ib
   jai ensuite effectuer le calculer a partir de ça, or je trouve : 3a = 9 - i + ib
   je ne sais pas comment faire la suite ...

merci

[Noemi]

1. Le module est 2 et l'argument π/6, vérifie tes calculs,
   tu utilises ensuite la formule de Moivre.

2. Tu obtiens 3a - ib = 9 - i
   Soit 3a = 9 et
   -ib = -i
   d'ou a = ....
   b = ...

[ausecour]

1. comment trouver l'argument a partir de calcul? je n'ai pas appris cela.... et la formule de Moivre nous ne l'avons pas encore abordée en cours, je ne la connais pas.

2. merci, je trouve a = 3 et b=1, ce sont donc 1 et 3 les solution de lequation?

[Noemi]

1. Si tu ne connais pas la formule de moivre,
   calcule
   (√3+i)²
   (√3+i)³
   .....
   et cherche une relation
2. a = 3 et b = 1 donne z = 3 + i

[ausecour]

1. je ne vois pas où en arriver avec ces calculs ?
   (√3+i)² = 2+2√3 i
   (√$3+i{)}^3$ = 8i
   (√$3+i{)}^4$ = -8+8√3i
   ..... ça me mène où?

[Noemi]

Cherche les deux suivants.

[ausecour]

(√3+i)² = 2+2√3 i
(√3+i)3 = 8i
(√3+i)4 = -8+8√3i
(√$3+i{)}^5$ = -16√3+16i
(√$3+i{)}^6$ = -64
.... je ne vois toujours pas la relation entre ces resulats

[Noemi]

√3 + i
√3+i)² = 2+2√3 i = 2(1+√3i)
(√$3+i{)}^3$ = 8i = 2³ i
(√$3+i{)}^4$ = -8+8√3i= -2³(1-√3i)
(√$3+i{)}^5$ = -16√3+16i= $-2^4$(√3-i)
(√$3+i{)}^6$ = -64 = $-2^6$
(√$3+i{)}^7$ = $-2^6$(√3+i)

peux tu en déduire $Z^8$, puis $z^9$, puis $z^{2013}$ ?

[ausecour]

pour (√3+i)6 pourquoi être passé de -64 à -26 ?
j'comprend pas votre raisionement pour trouver $z^8$ $z^9$ et donc $z^{2013}$

[Noemi]

64 = 22222*2 = $2^6$ non ?

Compare z et $z^7$

[ausecour]

ah oui, autant pour moi
$z^7$ = $-2^6$z
c'est ça?

[Noemi]

Oui c'est correct.

Donc tu peux en déduire sans calcul les termes qui suivent.

[ausecour]

je ne vois pas comment passer de $z^7$=-26z à $z^{2013}$

[Noemi]

√3 + i
√3+i)² = 2+2√3 i = 2²(1+√3i)/2
(√3+i)³ = 8i = 2³ i
(√$3+i{)}^4$= -8+8√3i= $-2^4$(1-√3i)/2
(√$3+i{)}^5$ = -16√3+16i= $-2^5$(√3-i)/2
(√$3+i{)}^6$= -64 = $-2^6$
(√$3+i{)}^7$ = $-2^7$(√3+i)/2
(√$3+i{)}^8$ = $-2^8$(1+√3i)/2
(√$3+i{)}^9$= $-2^9$i
(√$3+i{)}^{10}$= $2^{10}$(1-√3i)/2
(√$3+i{)}^{11}$= $2^{11}$(√3-i)/2
(√$3+i{)}^{12}$ = $2^{12}$
(√$3+i{)}^{13}$= $2^{13}$(√3+i)/2
2013 =167*12 + 9

donc (√$3+I)$^{2013}$=-2^{2013}$i

[ausecour]

merci beaucoup !