Racines carrées d'un complexe

Bonjour,
J'ai du mal à démarrer un exercice dont le but final est de trouver la racine carrée d'un nombre complexe.
Quelqu'un peut-il m'aider ?

Dans la 1ere question on cherche à trouver un nombre complexe $z$ tel que $z^2=8-6i$ .
On me demande , en écrivant $z$ sous la forme $x + i y$ (avec $x$ et $y$ ∈ R), de montrer qu'on peut se ramener à deux équations : $\left\lbrace\begin{array}x^2-y^2=8 \ xy=-3 \end{array}$

J'ai un peu de mal avec les nombres complexes.....

Bonjour Pauline34

Développe (x+iy)² = ....

Bonjour,

Piste,

$z = x + i y$ avec $\in r \ et \ y\in r$

$z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy+i^2y^2$

Vu que $i^2=-1$

$z^2=x^2+2ixy-y^2=(x^2-y^2)+i(2xy)$

$z2=8−6i↔(x2−y2)+i(2xy)=8+i(−6)z^2=8-6i \leftrightarrow (x^2-y^2)+i(2xy)=8+i(-6)$

En identifiant les parties réelles entre elles : $x^2-y^2=....$

En identifiant les parties imaginaires entre elles : $2 x y = . . .$ .

Tu pourras ainsi trouver les équations indiquées

Ensuite, tu résoudras pour trouver x et y

Bonjour Noemi,

Désolée, je n'avais pas vu ta réponse.

Ah ben oui, effectivement, vu comme ça c'est bcp plus simple !

Merci bcp, le reste ne de l'exercice ne causera pas de souci....

Bonne soirée

Bonne soirée à toi ( et j'espère que tu as trouvé z=-3+i et z=3-i )

Bon..... hé bien.... finalement, mtschoon, j'aurais encore besoin d'une petite explication pour finir cet exercice

c'est fait
Pour résoudre ce système, écrire $y$ en fonction de $x$ et utiliser cette écriture dans la première équation. Montrer que l'on peut se ramener à résoudre l'équation $x^4-8x^2-9=9$

Ici, pas de souci : je remplace $y$ par $−3x-\frac{3}{x}$ dans $x^2-y^2=8$ et j'arrive bien à $x^4-8x^2-9=0$

En posant $x=x^2$ donner les valeurs possibles $x$ . En déduire les valeurs possibles pour $x$ .

Là non plus, pas de souci :
$x=x^2$ donc $x^4-8x^2-9=0=x^2-8x-9$

Une première racine évidente : $x_1=-1$

On sait que $x1∗x2=cax_1*x_2=\frac{c}{a}$ donc $x_2=-9$ donc $x_2=9$

J'ai donc : $x1=x1=−1=ix_1=\sqrt{x_1}=\sqrt{-1}=i$ et $x2=9=3x_2=\sqrt{9}=3$ ou $- 3$

Donner alors les couples solutions du système. On a alors obtenu la racine carrée de 8-6i

Je vois bien qu'il doit y avoir un lien entre mes résultats du 3) et ce que vous m'avez écrit dans votre dernier message :
Citation
j'espère que tu as trouvé z=-3+i et z=3-i mais j'ai du mal à établir ce lien. Je suis prête à parier qu'on peut le dire en 2 lignes, mais, j'ai beau chercher, je n'y arrive pas.... :rolling_eyes:

Attention !

x et y sont des REELS.

$X_1$ =-1 <=> x²=-1 IMPOSSIBLE car x est réel.

( Une remarque en passant : n'écris jamais $−1\sqrt{-1}$ , car le symbole √ n'a un sens que pour les réels positifs)

$X_2$ =9 <=> x²=9 <=> x=3 ou x=-3

Pour x =3 , tu cherches y ( avec y=-3/x)
Pour x =-3 , tu cherches y ( avec y=-3/x)

Tu obtiendras ainsi les deux complexes dont le carré vaut -8-6i ( qui sont les "racines carrées complexes" de -8-6i

Ben voilà : je m'entêtais à vouloir passer par x²-y²=8 alors qu'il faut utiliser xy=-3

Merci

PS : notre prof nous déjà fait la même remarque au sujet de $−1\sqrt{-1}$ .... ça finira bien par rentrer !

oui, il faut bien réfléchir pour savoir sur quel ensemble on travaille.

Ici, z c'est à dire x+iy, est complexe, avec x et y réels.

Lorsqu'on résout le système d'inconnues x et y , on travaille sur les réels.

Bons complexes !

Merci beaucoup pour votre aide; ça commence à s'éclaircir un peu....

On a donc x=3 ou -3
y=-3/x et z=x+iy

pour x=3 on a y=-3/3=-1
donc z=3+i(-1)=3-i
pour x=-3 on y=-3/-3=1
donc z=-3+i(1)=-3+i

Merci

C'est bon !