suite fonction termS

bonjour, je travail sur un dm où les suites et les fonctions sont mélangées. Je suis bloquée a ma deuxième question, si quelqu'un pourrait m'aider?

question : Montrer pas récurrence que pour tout n∈ $mathbb{N}$ , 0<=Un<=Un+1<=10

données importante pour résoudre la question :
U0 = 1 et pour tout n>= 0 $un+1=110un(20−un)un+1=\frac{1}{10} un(20-un)$
et donc la fonction $\frac{1}{10}x(20-x)$
dans les questions précédentes j'ai étudié les variation de f(x) sur [0:20] et déduis que f(x)∈[0;10]

debut de ma réponse :

*Initialisation *: U0=1 U1=2 donc on a bien 0<=U0<=U1<=10
[i]Hypothèse de récurrence [/i]: on pose 0<=Up<=Up+1<=10
[i]Transmission [/i]: on doit démontrer que 0<=Up+1<=Up+2<=10
on sait que Up+1 = [tex]\frac{1}{10}Up(20-Up)[/tex]

après je suis bloquée ....

Bonjour ausecour,

Il reste à démontrer que Up+1 ≤ Up+2 ≤ 10
Utilise les propriétés des inégalités

je ne vois pas comment ... pouvez vous me donner le début svp?

Exprime Up+2 en fonction de Up+1 puis cherche un encadrement de Up+2 en utilisant
0 ≤ up+1 ≤ 10.

j'ai 0≤Up+1≤10
⇔ $110\frac{1}{10}$ ≤ $110\frac{1}{10}$ Up+1 ≤1
⇔ $110\frac{1}{10}$ (20-Up+1≤ $110\frac{1}{10}$ Up+1 (20-Up+1)≤
⇔ 2- $110\frac{1}{10}$ Up+1≤ $110\frac{1}{10}$ Up+1 (20-Up+1)≤ 20-Up+1

ensuite je n'arrive pas en conclure

Cherche un encadrement de 20 - Up+1

0≤Up+1≤10
⇔ 0≥ -Up+1≥10
⇔ 20 ≥ 20-Up+1≥30

cela est-il correct?

rectification 20≥20-Up+1≥10

Tu dois utiliser le résultat sur les variations.
0 ≤ Up ≤ 10
Pour n compris entre 0 et 10 la fonction f est croissante
donc f(0) ≤f(Up) ≤f(10)
soit 0 ≤ up+1 ≤ 10
puis pour n compris entre 10 et 20, la fonction f est décroissante.
...